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3Dラインプレーン交差点

線（ベクトルまたは線上の2つの点のいずれかで表される）が与えられた場合、線が平面と交差する点を見つけるにはどうすればよいですか？私はこれについて多くのリソースを見つけましたが、そこで方程式を理解することはできません（それらは標準代数ではないようです）。標準のプログラミング言語（私はJavaを使用しています）で解釈できる方程式（どれだけ長くても）が欲しいです。

3dlineintersectionplane
28
jt78

以下にJavaのメソッドを示します。Java$ ===は、線と平面の交差点を検出します。含まれていないベクトルメソッドはありますが、その機能は自明です。

/**
 * Determines the point of intersection between a plane defined by a point and a normal vector and a line defined by a point and a direction vector.
 *
 * @param planePoint    A point on the plane.
 * @param planeNormal   The normal vector of the plane.
 * @param linePoint     A point on the line.
 * @param lineDirection The direction vector of the line.
 * @return The point of intersection between the line and the plane, null if the line is parallel to the plane.
 */
public static Vector lineIntersection(Vector planePoint, Vector planeNormal, Vector linePoint, Vector lineDirection) {
    if (planeNormal.dot(lineDirection.normalize()) == 0) {
        return null;
    }

    double t = (planeNormal.dot(planePoint) - planeNormal.dot(linePoint)) / planeNormal.dot(lineDirection.normalize());
    return linePoint.plus(lineDirection.normalize().scale(t));
}
12
ZGorlock

Heres a Pythonの例では、直線と平面の交差点を見つけます。

平面が点と法線、または4dベクトル（法線）の場合、以下の例では（両方のコードが提供されます） 。

また、この関数は、ポイントがライン上のどこにあるかを表す値を計算することに注意してください（以下のコードではfacと呼ばれます）。 0から1までの値がラインセグメントと交差するため、これも返す必要があります。これは呼び出し側にとって便利な場合があります。

コードコメントに記載されているその他の詳細。

注：この例では、他の言語に簡単に移動できるように、依存関係のない純粋な関数を使用しています。 Vectorデータ型と演算子のオーバーロードを使用すると、より簡潔にすることができます（以下の例に含まれます）。

_# intersection function
def isect_line_plane_v3(p0, p1, p_co, p_no, epsilon=1e-6):
    """
    p0, p1: define the line
    p_co, p_no: define the plane:
        p_co is a point on the plane (plane coordinate).
        p_no is a normal vector defining the plane direction;
             (does not need to be normalized).

    return a Vector or None (when the intersection can't be found).
    """

    u = sub_v3v3(p1, p0)
    dot = dot_v3v3(p_no, u)

    if abs(dot) > epsilon:
        # the factor of the point between p0 -> p1 (0 - 1)
        # if 'fac' is between (0 - 1) the point intersects with the segment.
        # otherwise:
        #  < 0.0: behind p0.
        #  > 1.0: infront of p1.
        w = sub_v3v3(p0, p_co)
        fac = -dot_v3v3(p_no, w) / dot
        u = mul_v3_fl(u, fac)
        return add_v3v3(p0, u)
    else:
        # The segment is parallel to plane
        return None

# ----------------------
# generic math functions

def add_v3v3(v0, v1):
    return (
        v0[0] + v1[0],
        v0[1] + v1[1],
        v0[2] + v1[2],
        )


def sub_v3v3(v0, v1):
    return (
        v0[0] - v1[0],
        v0[1] - v1[1],
        v0[2] - v1[2],
        )


def dot_v3v3(v0, v1):
    return (
        (v0[0] * v1[0]) +
        (v0[1] * v1[1]) +
        (v0[2] * v1[2])
        )


def len_squared_v3(v0):
    return dot_v3v3(v0, v0)


def mul_v3_fl(v0, f):
    return (
        v0[0] * f,
        v0[1] * f,
        v0[2] * f,
        )
_

平面が4dベクトル（標準形）として定義されている場合、平面上の点を見つけて、以前のように交差点を計算する必要があります（参照_p_co_割り当て）。

_def isect_line_plane_v3_4d(p0, p1, plane, epsilon=1e-6):    
    u = sub_v3v3(p1, p0)
    dot = dot_v3v3(plane, u)

    if abs(dot) > epsilon:
        # calculate a point on the plane
        # (divide can be omitted for unit hessian-normal form).
        p_co = mul_v3_fl(plane, -plane[3] / len_squared_v3(plane))

        w = sub_v3v3(p0, p_co)
        fac = -dot_v3v3(plane, w) / dot
        u = mul_v3_fl(u, fac)
        return add_v3v3(p0, u)
    else:
        return None
_

さらに参照するために、これはBlenderから取得され、Pythonに適合しました。 isect_line_plane_v3() in math_geom.c

わかりやすくするために、ここでは mathutils API（演算子のオーバーロードを使用して他の数学ライブラリ用に変更可能）を使用するバージョンを示します。

_# point-normal plane
def isect_line_plane_v3(p0, p1, p_co, p_no, epsilon=1e-6):
    u = p1 - p0
    dot = p_no * u
    if abs(dot) > epsilon:
        w = p0 - p_co
        fac = -(plane * w) / dot
        return p0 + (u * fac)
    else:
        return None


# normal-form plane
def isect_line_plane_v3_4d(p0, p1, plane, epsilon=1e-6):    
    u = p1 - p0
    dot = plane.xyz * u
    if abs(dot) > epsilon:
        p_co = plane.xyz * (-plane[3] / plane.xyz.length_squared)

        w = p0 - p_co
        fac = -(plane * w) / dot
        return p0 + (u * fac)
    else:
        return None
_
31
ideasman42

次の3つのケースを考慮する必要があります。

  • 平面は線に平行であり、線は平面にありません（交差なし）
  • 平面は線と平行ではありません（1つの交点）
  • 平面には線が含まれます（線はすべての点で交差します）

次のように、パラメータ化された形式で行を表現できます。

http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20080830195656AA3aEBr

この講義の最初の数ページは、飛行機についても同じことをします。

http://math.mit.edu/classes/18.02/notes/lecture5compl-09.pdf

平面の法線が線に沿った方向に垂直である場合、エッジケースがあり、それがまったく交差するか、平面内にあるかを確認する必要があります。

それ以外の場合は、交点が1つあり、それを解決できます。

これはコードではないことは知っていますが、堅牢なソリューションを得るには、おそらくアプリケーションのコンテキストにこれを配置する必要があります。

EDIT：正確に1つの交点がある例です。最初のリンクのパラメーター化された方程式から開始するとします。

x = 5 - 13t
y = 5 - 11t
z = 5 - 8t

パラメータtは何でもかまいません。すべての（無限）セット(x, y, z)これらの方程式を満たす線が線を構成します。次に、平面の方程式がある場合、次のように言います。

x + 2y + 2z = 5

（ here から取得）上記のx、y、およびzの方程式を平面の方程式に置き換えることができます。パラメーターtのみ。 tを解きます。これは、平面にあるその線のtの特定の値です。その後、線方程式に戻ってxを代入することにより、y、z、およびtを解くことができます。

18
John

Numpyとpythonを使用：

#Based on http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html
from __future__ import print_function
import numpy as np

epsilon=1e-6

#Define plane
planeNormal = np.array([0, 0, 1])
planePoint = np.array([0, 0, 5]) #Any point on the plane

#Define ray
rayDirection = np.array([0, -1, -1])
rayPoint = np.array([0, 0, 10]) #Any point along the ray

ndotu = planeNormal.dot(rayDirection) 

if abs(ndotu) < epsilon:
    print ("no intersection or line is within plane")

w = rayPoint - planePoint
si = -planeNormal.dot(w) / ndotu
Psi = w + si * rayDirection + planePoint

print ("intersection at", Psi)
11
TimSC

Pythonの this Matlabコード（交差のチェックを除く）に基づく

# n: normal vector of the Plane 
# V0: any point that belongs to the Plane 
# P0: end point 1 of the segment P0P1
# P1:  end point 2 of the segment P0P1
n = np.array([1., 1., 1.])
V0 = np.array([1., 1., -5.])
P0 = np.array([-5., 1., -1.])
P1 = np.array([1., 2., 3.])

w = P0 - V0;
u = P1-P0;
N = -np.dot(n,w);
D = np.dot(n,u)
sI = N / D
I = P0+ sI*u
print I

結果

[-3.90909091  1.18181818 -0.27272727]

私はそれをグラフィカルにチェックし、うまくいくようです、

enter image description here

これは、共有リンクのより堅牢な実装だと思います before

3
BBDynSys

直線を定義する2つの点pとqがあり、一般的なデカルト形式の平面ax + by + cz + d = 0がある場合、パラメトリック法を使用できます。

コーディングの目的でこれが必要な場合、javascriptスニペットを次に示します。

/**
* findLinePlaneIntersectionCoords (to avoid requiring unnecessary instantiation)
* Given points p with px py pz and q that define a line, and the plane
* of formula ax+by+cz+d = 0, returns the intersection point or null if none.
*/
function findLinePlaneIntersectionCoords(px, py, pz, qx, qy, qz, a, b, c, d) {
    var tDenom = a*(qx-px) + b*(qy-py) + c*(qz-pz);
    if (tDenom == 0) return null;

    var t = - ( a*px + b*py + c*pz + d ) / tDenom;

    return {
        x: (px+t*(qx-px)),
        y: (py+t*(qy-py)),
        z: (pz+t*(qz-pz))
    };
}

// Example (plane at y = 10  and perpendicular line from the Origin)
console.log(JSON.stringify(findLinePlaneIntersectionCoords(0,0,0,0,1,0,0,1,0,-10)));

// Example (no intersection, plane and line are parallel)
console.log(JSON.stringify(findLinePlaneIntersectionCoords(0,0,0,0,0,1,0,1,0,-10)));
3
DNax

この質問は古いですが、非常に便利な解決策があるので、誰かに役立つかもしれないと考えました。

平面と線の交点は、同次座標で表現すると非常にエレガントになりますが、解だけが必要だと仮定できます。

平面上の任意の同質点に対してp ^ T * x = 0となるような平面を記述するベクトル4x1 pがあります。次に、ラインL = ab ^ T-ba ^ Tのプラッカー座標を計算します。ここで、a = {point_1; 1}、b = {point_2; 1}、両方ともライン上の4x1

計算：x = L * p = {x0、x1、x2、x3}

x_intersect =（{x0、x1、x2}/x3）ここで、x3がゼロの場合、ユークリッドの意味での交点はありません。

2
midjji

ZGorlock's answerを展開するために、3Dベクトルのドット積、およびスカルスを行いました。これらの計算の参照は、 ドット積 、 2つの3Dベクトルの追加 、および スケーリング です。注：Vec3Dは、x、y、zのポイントを持つカスタムクラスにすぎません。

/**
 * Determines the point of intersection between a plane defined by a point and a normal vector and a line defined by a point and a direction vector.
 *
 * @param planePoint    A point on the plane.
 * @param planeNormal   The normal vector of the plane.
 * @param linePoint     A point on the line.
 * @param lineDirection The direction vector of the line.
 * @return The point of intersection between the line and the plane, null if the line is parallel to the plane.
 */
public static Vec3D lineIntersection(Vec3D planePoint, Vec3D planeNormal, Vec3D linePoint, Vec3D lineDirection) {
    //ax × bx + ay × by
    int dot = (int) (planeNormal.x * lineDirection.x + planeNormal.y * lineDirection.y);
    if (dot == 0) {
        return null;
    }

    // Ref for dot product calculation: https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html
    int dot2 = (int) (planeNormal.x * planePoint.x + planeNormal.y * planePoint.y);
    int dot3 = (int) (planeNormal.x * linePoint.x + planeNormal.y * linePoint.y);
    int dot4 = (int) (planeNormal.x * lineDirection.x + planeNormal.y * lineDirection.y);

    double t = (dot2 - dot3) / dot4;

    float xs = (float) (lineDirection.x * t);
    float ys = (float) (lineDirection.y * t);
    float zs = (float) (lineDirection.z * t);
    Vec3D lineDirectionScale = new Vec3D( xs, ys, zs);

    float xa = (linePoint.x + lineDirectionScale.x);
    float ya = (linePoint.y + lineDirectionScale.y);
    float za = (linePoint.z + lineDirectionScale.z);

    return new Vec3D(xa, ya, za);
}
0
Muhammad Qumail