オイラーパスは、反復せずにすべてのエッジを1回だけ通過するパスです。最初の頂点で終了する場合はオイラーサイクルです。
ハミルトニアンパスは、各頂点（各エッジではないことに注意）を一度だけ通過します。最初の頂点で終了すると、ハミルトニアンサイクルになります。
オイラーパスでは、頂点を複数回通過する場合があります。
ハミルトニアンパスでは、すべてのエッジを通過することはできません。
グラフ理論の定義
（一般性の降順）
Walk：1つのエッジの終わりが次のエッジの始まりを示すエッジのシーケンス
トレイル：エッジを繰り返さないウォーク。すべてのトレイルは散歩です。
パス：各頂点が一度だけトラバースされるウォーク。 （オープンウォークを参照するために使用されるパス、定義が変更されました）頂点を1回だけトラバースするというプロパティは、エッジも1回だけ交差することを意味するため、すべてのパスはトレイルになります。
ハミルトニアンパスとオイラートレイル
ハミルトニアンパス：訪問グラフ内のすべての頂点（パスであるため、一度だけ）
オイラーのトレイル：訪問グラフ内のすべてのエッジ一度だけ（トレイルであるため、頂点が交差する可能性が高い一度。）
オイラーパスは各エッジに1回だけアクセスする必要があり、ハミルトニアンパスは各頂点に1回だけアクセスする必要があります。
ハミルトニアンパスはすべてのノード（または頂点）を1回だけ訪問し、オイラーパスはすべてのエッジを1回だけ通過します。
それらは関連していますが、依存も相互排他的でもありません。グラフにEurlerサイクルがある場合、ハミルトニアンサイクルがある場合とない場合があり、逆も同様です。
オイラーサイクル 毎回訪れる エッジ グラフで1回だけ。グラフに2つ以上のエッジがある頂点がある場合、定義により、サイクルはそれらの頂点を複数回通過します。結果として、頂点は繰り返すことができますが、エッジは繰り返すことができません。
ハミルトニアンサイクル 毎回訪れる 頂点 グラフで1回だけ（巡回セールスマンの問題に似ています）。その結果、エッジも頂点も繰り返すことができません。
生物学の一般的な例を使用します。 DNAサンプルを作成してゲノムを再構築します。
De-novoアセンブリ
短いリードからゲノムを構築するには、それらのリードのグラフを構築する必要があります。読み取りをk-merに分割し、それらをグラフにアセンブルします。
図のように各ノードに一度アクセスすることで、ゲノムを再構築できます。これは、ハミルトニアンパスとして知られています。
残念ながら、そのようなパスの構築はNP困難です。それを解決するための効率的なアルゴリズムを導き出すことは不可能です。代わりに、バイオインフォマティクスでは、エッジがオーバーラップを表すオイラーサイクルを構築します。
オイラーパスは、グラフのすべてのエッジを1回だけ使用するパスであり、奇数の頂点が正確に2つ必要です。パスは異なる頂点で開始および終了します。ハミルトニアンサイクルは、グラフのすべての頂点を含むサイクルであるため、グラフのすべてのエッジを使用することはできません。
オイラーパスは、グラフのすべてのEdge（NOTE）exactly onceを使用するグラフです。オイラー回路は、開始点に戻るオイラーパスですすべてのエッジをカバーした後。
一方、ハミルトンパスは、すべての頂点（注）を一度だけカバーするグラフです。このパスが開始点に戻るとき、このパスはハミルトン回路と呼ばれます。