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ポイント間の最短距離アルゴリズム

平面上の点のセットが与えられた場合、これらの点のいずれか2つによって形成される最短の線分を見つけます。

どうやってやるの？簡単な方法は明らかに各距離を計算することですが、比較するには別のアルゴリズムが必要です。

algorithmmathcomputational-geometry
23
geord

http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points

この問題は、次のように、再帰的な分割統治法を使用してO（n log n）時間で解決できます。

  • X座標に沿ってポイントを並べ替える
  • ポイントのセットを垂直線x = xmidで2つの同じサイズのサブセットに分割します
  • 左右のサブセットで問題を再帰的に解決します。これにより、左側と右側の最小距離がそれぞれdLminとdRminになります。
  • 1つの点が分割垂直線の左側にあり、2番目の点が右側にある点のペアの中から最小距離dLRminを見つけます。
  • 最終的な答えは、dLmin、dRmin、およびdLRminの中で最小です。
31
Wayne Sheppard

力ずくのテクニックよりも迅速な代替案をすぐに考えることはできませんが（十分な数があるはずですが）、どのアルゴリズムを選択してもしないでください各ポイント間の距離を計算します。距離を比較する必要がある場合は、距離のsquaresを比較するだけで、高価で完全に冗長な平方根を回避できます。

27
Troubadour

1つの可能性は、ポイントをX座標で並べ替えることです（またはY-は実際には問題ではなく、一貫しているだけです）。次に、それを使用して、他の多くのポイントとの比較を排除できます。ポイント[i]とポイント[j]の間の距離を見ているときに、X距離だけが現在の最短距離よりも大きい場合、ポイント[j + 1] ...ポイント[N]は次のように削除できます。よく（i<j-j<iの場合、削除されるのはpoint [0] ... point [i]です）。

ポイントが極座標として始まる場合は、同じもののバリエーションを使用できます。原点からの距離で並べ替えます。原点からの距離の差が現在の最短距離よりも大きい場合は、そのポイントを削除できます。そして、現在検討しているものよりも原点から遠い（または近い）他のすべてのもの。

6
Jerry Coffin

ドロネー三角形分割 から線形時間で最も近いペアを抽出でき、逆に ボロノイ図 から抽出できます。

5
lhf

この問題には標準的なアルゴリズムがあり、ここで見つけることができます： http://www.cs.mcgill.ca/~cs251/ClosestPair/ClosestPairPS.html

そして、これがこのアルゴの私の実装です、申し訳ありませんがコメントなしです：

    static long distSq(Point a, Point b) {
    return ((long) (a.x - b.x) * (long) (a.x - b.x) + (long) (a.y - b.y) * (long) (a.y - b.y));
}

static long ccw(Point p1, Point p2, Point p3) {
    return (long) (p2.x - p1.x) * (long) (p3.y - p1.y) - (long) (p2.y - p1.y) * (long) (p3.x - p1.x);
}

static List<Point> convexHull(List<Point> P) {

    if (P.size() < 3) {
        //WTF
        return null;
    }

    int k = 0;

    for (int i = 0; i < P.size(); i++) {
        if (P.get(i).y < P.get(k).y || (P.get(i).y == P.get(k).y && P.get(i).x < P.get(k).x)) {
            k = i;
        }
    }

    Collections.swap(P, k, P.size() - 1);

    final Point o = P.get(P.size() - 1);
    P.remove(P.size() - 1);


    Collections.sort(P, new Comparator() {

        public int compare(Object o1, Object o2) {
            Point a = (Point) o1;
            Point b = (Point) o2;

            long t1 = (long) (a.y - o.y) * (long) (b.x - o.x) - (long) (a.x - o.x) * (long) (b.y - o.y);

            if (t1 == 0) {
                long tt = distSq(o, a);
                tt -= distSq(o, b);
                if (tt > 0) {
                    return 1;
                } else if (tt < 0) {
                    return -1;
                }
                return 0;

            }
            if (t1 < 0) {
                return -1;
            }
            return 1;

        }
    });



    List<Point> hull = new ArrayList<Point>();
    hull.add(o);
    hull.add(P.get(0));


    for (int i = 1; i < P.size(); i++) {
        while (hull.size() >= 2 &&
                ccw(hull.get(hull.size() - 2), hull.get(hull.size() - 1), P.get(i)) <= 0) {
            hull.remove(hull.size() - 1);
        }
        hull.add(P.get(i));
    }

    return hull;
}

static long nearestPoints(List<Point> P, int l, int r) {


    if (r - l == P.size()) {

        Collections.sort(P, new Comparator() {

            public int compare(Object o1, Object o2) {
                int t = ((Point) o1).x - ((Point) o2).x;
                if (t == 0) {
                    return ((Point) o1).y - ((Point) o2).y;
                }
                return t;
            }
        });
    }

    if (r - l <= 100) {
        long ret = distSq(P.get(l), P.get(l + 1));
        for (int i = l; i < r; i++) {
            for (int j = i + 1; j < r; j++) {
                ret = Math.min(ret, distSq(P.get(i), P.get(j)));
            }
        }
        return ret;

    }

    int c = (l + r) / 2;
    long lD = nearestPoints(P, l, c);
    long lR = nearestPoints(P, c + 1, r);
    long ret = Math.min(lD, lR);
    Set<Point> set = new TreeSet<Point>(new Comparator<Point>() {

        public int compare(Point o1, Point o2) {
            int t = o1.y - o2.y;
            if (t == 0) {
                return o1.x - o2.x;
            }
            return t;
        }
    });
    for (int i = l; i < r; i++) {
        set.add(P.get(i));
    }

    int x = P.get(c).x;

    double theta = Math.sqrt(ret);

    Point[] Q = set.toArray(new Point[0]);
    Point[] T = new Point[Q.length];
    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < Q.length; i++) {
        if (Q[i].x - x + 1 > theta) {
            continue;
        }
        T[pos++] = Q[i];
    }

    for (int i = 0; i < pos; i++) {
        for (int j = 1; j < 7 && i + j < pos; j++) {
            ret = Math.min(ret, distSq(T[i], T[j + i]));
        }
    }
    return ret;
}
3
rachvela

あなたの質問から、あなたがセグメントの距離を探しているのか、それともセグメント自体を探しているのかは明らかではありません。距離を探していると仮定すると（距離が最小の2つのポイントがどれであるかがわかったら、単純な変更のセグメント）、1から5までの番号が付けられた5つのポイントが与えられます。

compare 1 with 2,3,4,5, then 
compare 2, with 3,4,5, then 
compare 3 with 4,5, then 
compare 4 with 5.

私が間違っていなければ、距離の可換性を考えると、他の比較を実行する必要はありません。 Pythonでは、何かのように聞こえるかもしれません

import numpy as np
def find_min_distance_of_a_cloud(cloud):
        """
        Given a cloud of points in the n-dim space, provides the minimal distance.
        :param cloud: list of nX1-d vectors, as ndarray.
        :return:
        """
        dist_min = None
        for i, p_i in enumerate(cloud[:-1]):
            new_dist_min = np.min([np.linalg.norm(p_i - p_j) for p_j in cloud[(i + 1):]])
            if dist_min is None or dist_min > new_dist_min:
                dist_min = new_dist_min

        return dist_min

これは、次のコードのようなものでテストできます。

from nose.tools import assert_equal

def test_find_min_distance_of_a_cloud_1pt():
    cloud = [np.array((1, 1, 1)), np.array((0, 0, 0))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(3))


def test_find_min_distance_of_a_cloud_5pt():
    cloud = [np.array((0, 0, 0)),
             np.array((1, 1, 0)),
             np.array((2, 1, 4)),
             np.array((3, 4, 4)),
             np.array((5, 3, 4))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(2))

3つ以上のポイントが同じ最小距離を持つことができ、セグメントを探している場合は、提案されたコードを再度変更する必要があります。出力は、距離が最小のポイント（またはいくつかのポイント）のリストになります。それが役に立てば幸い！

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SeF