円と円の交点

Question

2つの円の交点を計算する方法を教えてください。すべての場合において、交差点が2つ、1つ、またはまったくないことが予想されます。

中心点のx座標とy座標、および各円の半径があります。

pythonの回答が推奨されますが、動作するアルゴリズムであれば問題ありません。

Jacob · Answer

2つの円の交点

ポール・バーク著

次の注では、平面上の2つの円の間の交点を見つける方法について説明します。次の表記が使用されます。目的は、2つのポイントPを見つけることです。₃ =（x₃、y₃）存在する場合。

最初に、円の中心間の距離dを計算します。 d = || P₁ -P||。

D> rの場合 + r₁ 解決策はありません、円は分離されています。

D <| rの場合 -r₁| 1つの円が他の円に含まれているため、ソリューションはありません。

D = 0およびrの場合 = r₁ 円は一致し、解の数は無限です。

2つの三角形Pを考慮するP₂P₃ とP₁P₂P₃ 私たちは書くことができます

a² + h² = r² およびb² + h² = r₁²

D = a + bを使用して、aについて解くことができます。

a =（r² -r₁² + d² ）/（2 d）
これがrに減少することはすぐにわかります。 2つの円が1点で接触する場合、つまり：d = r + r₁ 最初の方程式hにaを代入してhを解きます² = r² -a²
そう

P₂ = P + a（P₁ -P ）/ d

そして最後に、P₃ =（x₃、y₃）Pに関して =（x、y）、P₁ =（x₁、y₁）およびP₂ =（x₂、y₂）、

バツ₃ = x₂ +-h（y₁ -y ）/ d

y₃ = y₂ -+ h（x₁ - バツ）/ d

ソース： http://paulbourke.net/geometry/circlesphere/

robert king · Answer

Paul Bourkeの記事に基づいた私のC++実装です。交差点が2つある場合にのみ機能します。それ以外の場合は、おそらくNaN NAN NAN NANを返します。

class Point{ public: float x, y; Point(float px, float py) { x = px; y = py; } Point sub(Point p2) { return Point(x - p2.x, y - p2.y); } Point add(Point p2) { return Point(x + p2.x, y + p2.y); } float distance(Point p2) { return sqrt((x - p2.x)*(x - p2.x) + (y - p2.y)*(y - p2.y)); } Point normal() { float length = sqrt(x*x + y*y); return Point(x/length, y/length); } Point scale(float s) { return Point(x*s, y*s); } }; class Circle { public: float x, y, r, left; Circle(float cx, float cy, float cr) { x = cx; y = cy; r = cr; left = x - r; } pair<Point, Point> intersections(Circle c) { Point P0(x, y); Point P1(c.x, c.y); float d, a, h; d = P0.distance(P1); a = (r*r - c.r*c.r + d*d)/(2*d); h = sqrt(r*r - a*a); Point P2 = P1.sub(P0).scale(a/d).add(P0); float x3, y3, x4, y4; x3 = P2.x + h*(P1.y - P0.y)/d; y3 = P2.y - h*(P1.x - P0.x)/d; x4 = P2.x - h*(P1.y - P0.y)/d; y4 = P2.y + h*(P1.x - P0.x)/d; return pair<Point, Point>(Point(x3, y3), Point(x4, y4)); } };

will.fiset · Answer

以下は、ベクターを使用したJavascriptでの実装です。コードはきちんと文書化されているので、それに従うことができるはずです。元のソース

ライブデモを参照してくださいこちら：

// Let EPS (epsilon) be a small value var EPS = 0.0000001; // Let a point be a pair: (x, y) function Point(x, y) { this.x = x; this.y = y; } // Define a circle centered at (x,y) with radius r function Circle(x,y,r) { this.x = x; this.y = y; this.r = r; } // Due to double rounding precision the value passed into the Math.acos // function may be outside its domain of [-1, +1] which would return // the value NaN which we do not want. function acossafe(x) { if (x >= +1.0) return 0; if (x <= -1.0) return Math.PI; return Math.acos(x); } // Rotates a point about a fixed point at some angle 'a' function rotatePoint(fp, pt, a) { var x = pt.x - fp.x; var y = pt.y - fp.y; var xRot = x * Math.cos(a) + y * Math.sin(a); var yRot = y * Math.cos(a) - x * Math.sin(a); return new Point(fp.x+xRot,fp.y+yRot); } // Given two circles this method finds the intersection // point(s) of the two circles (if any exists) function circleCircleIntersectionPoints(c1, c2) { var r, R, d, dx, dy, cx, cy, Cx, Cy; if (c1.r < c2.r) { r = c1.r; R = c2.r; cx = c1.x; cy = c1.y; Cx = c2.x; Cy = c2.y; } else { r = c2.r; R = c1.r; Cx = c1.x; Cy = c1.y; cx = c2.x; cy = c2.y; } // Compute the vector <dx, dy> dx = cx - Cx; dy = cy - Cy; // Find the distance between two points. d = Math.sqrt( dx*dx + dy*dy ); // There are an infinite number of solutions // Seems appropriate to also return null if (d < EPS && Math.abs(R-r) < EPS) return []; // No intersection (circles centered at the // same place with different size) else if (d < EPS) return []; var x = (dx / d) * R + Cx; var y = (dy / d) * R + Cy; var P = new Point(x, y); // Single intersection (kissing circles) if (Math.abs((R+r)-d) < EPS || Math.abs(R-(r+d)) < EPS) return [P]; // No intersection. Either the small circle contained within // big circle or circles are simply disjoint. if ( (d+r) < R || (R+r < d) ) return []; var C = new Point(Cx, Cy); var angle = acossafe((r*r-d*d-R*R)/(-2.0*d*R)); var pt1 = rotatePoint(C, P, +angle); var pt2 = rotatePoint(C, P, -angle); return [pt1, pt2]; }

CuriousMarc · Answer

次のように、お気に入りの手続き型言語（またはプログラム可能な計算機）を7行だけ使用しないのはなぜですか。

P0座標（x0、y0）、P1座標（x1、y1）、r0およびr1が与えられ、P3座標（x3、y3）を検索するとします。

d=sqr((x1-x0)^2 + (y1-y0)^2) a=(r0^2-r1^2+d^2)/(2*d) h=sqr(r0^2-a^2) x2=x0+a*(x1-x0)/d y2=y0+a*(y1-y0)/d x3=x2+h*(y1-y0)/d // also x3=x2-h*(y1-y0)/d y3=y2-h*(x1-x0)/d // also y3=y2+h*(x1-x0)/d

kulprit.001 · Answer

これを試して;

 def ri(cr1,cr2,cp1,cp2): int1=[] int2=[] ori=0 if cp1[0]<cp2[0] and cp1[1]!=cp2[1]: p1=cp1 p2=cp2 r1=cr1 r2=cr2 if cp1[1]<cp2[1]: ori+=1 Elif cp1[1]>cp2[1]: ori+=2 Elif cp1[0]>cp2[0] and cp1[1]!=cp2[1]: p1=cp2 p2=cp1 r1=cr2 r2=cr1 if p1[1]<p2[1]: ori+=1 Elif p1[1]>p2[1]: ori+=2 Elif cp1[0]==cp2[0]: ori+=4 if cp1[1]>cp2[1]: p1=cp1 p2=cp2 r1=cr1 r2=cr2 Elif cp1[1]<cp2[1]: p1=cp2 p2=cp1 r1=cr2 r2=cr1 Elif cp1[1]==cp2[1]: ori+=3 if cp1[0]>cp2[0]: p1=cp2 p2=cp1 r1=cr2 r2=cr1 Elif cp1[0]<cp2[0]: p1=cp1 p2=cp2 r1=cr1 r2=cr2 if ori==1:#+ D=calc_dist(p1,p2) tr=r1+r2 el=tr-D a=r1-el b=r2-el A=a+(el/2) B=b+(el/2) thta=math.degrees(math.acos(A/r1)) rs=p2[1]-p1[1] rn=p2[0]-p1[0] Gd=rs/rn yint=p1[1]-((Gd)*p1[0]) dty=calc_dist(p1,[0,yint]) aa=p1[1]-yint bb=math.degrees(math.asin(aa/dty)) d=90-bb e=180-d-thta g=(dty/math.sin(math.radians(e)))*math.sin(math.radians(thta)) f=(g/math.sin(math.radians(thta)))*math.sin(math.radians(d)) oty=yint+g h=f+r1 i=90-e j=180-90-i l=math.sin(math.radians(i))*h k=math.cos(math.radians(i))*h iy2=oty-l ix2=k int2.append(ix2) int2.append(iy2) m=90+bb n=180-m-thta p=(dty/math.sin(math.radians(n)))*math.sin(math.radians(m)) o=(p/math.sin(math.radians(m)))*math.sin(math.radians(thta)) q=p+r1 r=90-n s=math.sin(math.radians(r))*q t=math.cos(math.radians(r))*q otty=yint-o iy1=otty+s ix1=t int1.append(ix1) int1.append(iy1) Elif ori==2:#- D=calc_dist(p1,p2) tr=r1+r2 el=tr-D a=r1-el b=r2-el A=a+(el/2) B=b+(el/2) thta=math.degrees(math.acos(A/r1)) rs=p2[1]-p1[1] rn=p2[0]-p1[0] Gd=rs/rn yint=p1[1]-((Gd)*p1[0]) dty=calc_dist(p1,[0,yint]) aa=yint-p1[1] bb=math.degrees(math.asin(aa/dty)) c=180-90-bb d=180-c-thta e=180-90-d f=math.tan(math.radians(e))*p1[0] g=math.sqrt(p1[0]**2+f**2) h=g+r1 i=180-90-e j=math.sin(math.radians(e))*h jj=math.cos(math.radians(i))*h k=math.cos(math.radians(e))*h kk=math.sin(math.radians(i))*h l=90-bb m=90-e tt=l+m+thta n=(dty/math.sin(math.radians(m)))*math.sin(math.radians(thta)) nn=(g/math.sin(math.radians(l)))*math.sin(math.radians(thta)) oty=yint-n iy1=oty+j ix1=k int1.append(ix1) int1.append(iy1) o=bb+90 p=180-o-thta q=90-p r=180-90-q s=(dty/math.sin(math.radians(p)))*math.sin(math.radians(o)) t=(s/math.sin(math.radians(o)))*math.sin(math.radians(thta)) u=s+r1 v=math.sin(math.radians(r))*u vv=math.cos(math.radians(q))*u w=math.cos(math.radians(r))*u ww=math.sin(math.radians(q))*u ix2=v otty=yint+t iy2=otty-w int2.append(ix2) int2.append(iy2) Elif ori==3:#y D=calc_dist(p1,p2) tr=r1+r2 el=tr-D a=r1-el b=r2-el A=a+(el/2) B=b+(el/2) b=math.sqrt(r1**2-A**2) int1.append(p1[0]+A) int1.append(p1[1]+b) int2.append(p1[0]+A) int2.append(p1[1]-b) Elif ori==4:#x D=calc_dist(p1,p2) tr=r1+r2 el=tr-D a=r1-el b=r2-el A=a+(el/2) B=b+(el/2) b=math.sqrt(r1**2-A**2) int1.append(p1[0]+b) int1.append(p1[1]-A) int2.append(p1[0]-b) int2.append(p1[1]-A) return [int1,int2] def calc_dist(p1,p2): return math.sqrt((p2[0] - p1[0]) ** 2 + (p2[1] - p1[1]) ** 2)