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区間木における重複しない最大間隔

時間間隔のリストが与えられた場合、重複しない最大間隔のセットを見つける必要があります。

例えば、

次の間隔がある場合：

[0600, 0830], [0800, 0900], [0900, 1100], [0900, 1130], 
[1030, 1400], [1230, 1400]

また、時間は[0000, 2400]の範囲内でなければならないことが与えられています。

重複しない間隔の最大セットは[0600, 0830], [0900, 1130], [1230, 1400]です。

最大セットパッキングがNP完全であることを理解しています。問題（開始時間と終了時間のみを含む間隔）もNP完全であるかどうかを確認したいと思います。

もしそうなら、指数関数的な時間で最適なソリューションを見つける方法がありますが、よりスマートな前処理とデータのプルーニングを使用します。または、固定パラメータの扱いやすいアルゴリズムを実装するのが比較的簡単な場合。近似アルゴリズムには行きたくありません。

algorithminterval-tree
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shobhu

これはNP完全問題ではありません。この問題を解決するために動的計画法を使用するO(n * log(n))アルゴリズムを考えることができます。

N個の間隔があるとします。与えられた範囲がS（あなたの場合は_S = [0000, 2400]_）であると仮定します。すべての間隔がS内にあると仮定するか、線形時間でS内にないすべての間隔を削除します。

  1. 前処理：

    • すべての間隔を開始点で並べ替えます。 n間隔の配列_A[n]_を取得するとします。
      • このステップにはO(n * log(n))時間がかかります
    • 区間のすべての終点について、その後に続く最小の始点のインデックスを見つけます。 n整数の配列_Next[n]_を取得するとします。
      • そのような開始点が間隔_i,_の終了点に存在しない場合、nを_Next[i]_に割り当てることができます。
      • これは、すべての区間のn個のエンドポイントを列挙することでO(n * log(n))時間内に実行でき、バイナリ検索を使用して答えを見つけます。これを解決するための線形アプローチが存在するかもしれませんが、前のステップではすでにO(n * log(n))時間がかかるため、問題ではありません。

  2. DP：

    • 範囲_[A[i].begin, S.end]_の重複しない最大間隔が_f[i]_であると仮定します。次に、_f[0]_が必要な答えです。
    • また、_f[n] = 0_;
    • 状態遷移方程式：
      • _f[i] = max{f[i+1], 1 + f[Next[i]]}_
    • DPステップに線形時間がかかることは明らかです。

上記の解決策は、私が問題を一目見たときに思いついたものです。その後、私はより単純な貪欲なアプローチも考えます（ただし、大きなO表記の意味では速くはありません）。

（上記のDPアプローチと同じ表記法と仮定で）

  1. 前処理：すべての間隔をendポイントで並べ替えます。 n間隔の配列_B[n]_を取得するとします。

  2. 貪欲：

    _int ans = 0, cursor = S.begin;
for(int i = 0; i < n; i++){
    if(B[i].begin >= cursor){
        ans++;
        cursor = B[i].end;
    }
}
_

上記の2つの解決策は私の頭から浮かびますが、あなたの問題はアクティビティ選択問題とも呼ばれ、ウィキペディアで見つけることができます http://en.wikipedia.org/wiki/Activity_selection_problem 。

また、アルゴリズムの概要では、この問題について16.1で詳しく説明しています。

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jeffrey