数のパーティションを生成する
正の数の可能なすべてのパーティションを生成するアルゴリズムが必要で、1つを思いついた（回答として投稿された）が、それは指数関数的な時間である。
アルゴリズムは、数値がそれ自体以下の正の数値の合計として表現できるすべての可能な方法を返す必要があります。したがって、たとえば、数値5の場合、結果は次のようになります。
- 5
- 4 + 1
- 3 + 2
- 3 + 1 + 1
- 2 + 2 + 1
- 2 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1
だから私の質問は：これのためのより効率的なアルゴリズムはありますか？
編集：質問のタイトルは「数値の合計分解」、私は本当に知らなかったのでこれは何と呼ばれていました。 ShreevatsaRが指摘 「パーティション」と呼ばれているので、それに応じて質問のタイトルを編集しました。
Partitions と呼ばれます。 [ウィキペディアも参照してください： パーティション（数論） 。]
パーティションの数p(n)は指数関数的に増加するため、allパーティションを生成するために行うことは必ず行う必要があります指数関数的な時間がかかります。
そうは言っても、コードよりもうまくやることができます。 this 、または Python Algorithms and Data Structures by David Eppstein の更新バージョンを参照してください。
Pythonでの私の解決策（指数時間）は次のとおりです。
q = { 1: [[1]] }
def decompose(n):
try:
return q[n]
except:
pass
result = [[n]]
for i in range(1, n):
a = n-i
R = decompose(i)
for r in R:
if r[0] <= a:
result.append([a] + r)
q[n] = result
return result
>>> decompose(5)
[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]
より効率的なアルゴリズムを求めると、どちらを比較すればよいかわかりません。しかし、ここに簡単な方法で書かれた1つのアルゴリズムがあります（Erlang）：
-module(partitions).
-export([partitions/1]).
partitions(N) -> partitions(N, N).
partitions(N, Max) when N > 0 ->
[[X | P]
|| X <- lists:seq(min(N, Max), 1, -1),
P <- partitions(N - X, X)];
partitions(0, _) -> [[]];
partitions(_, _) -> [].
時間は指数関数的であり（ PythonでのBerkGüderのソリューション と同じ）、スタック空間では線形です。しかし、同じトリックであるメモ化を使用すると、メモリを節約し、指数を減らすことで、大幅な改善を実現できます。 （N = 50の場合は10倍高速です）
mp(N) ->
lists:foreach(fun (X) -> put(X, undefined) end,
lists:seq(1, N)), % clean up process dictionary for sure
mp(N, N).
mp(N, Max) when N > 0 ->
case get(N) of
undefined -> R = mp(N, 1, Max, []), put(N, R), R;
[[Max | _] | _] = L -> L;
[[X | _] | _] = L ->
R = mp(N, X + 1, Max, L), put(N, R), R
end;
mp(0, _) -> [[]];
mp(_, _) -> [].
mp(_, X, Max, R) when X > Max -> R;
mp(N, X, Max, R) ->
mp(N, X + 1, Max, prepend(X, mp(N - X, X), R)).
prepend(_, [], R) -> R;
prepend(X, [H | T], R) -> prepend(X, T, [[X | H] | R]).
とにかく、あなたはあなたの言語と目的のためにベンチマークするべきです。
これは、はるかに長い時間の方法です（これは、「パーティション」という用語を知る前に行ったことであり、Google検索を実行できるようになりました）。
def magic_chunker (remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets):
if remainder > 0:
if prevChunkSet and (len(prevChunkSet) > len(chunkSet)): # counting down from previous
# make a chunk that is one less than relevant one in the prevChunkSet
position = len(chunkSet)
chunk = prevChunkSet[position] - 1
prevChunkSet = [] # clear prevChunkSet, no longer need to reference it
else: # begins a new countdown;
if chunkSet and (remainder > chunkSet[-1]): # no need to do iterations any greater than last chunk in this set
chunk = chunkSet[-1]
else: # i.e. remainder is less than or equal to last chunk in this set
chunk = remainder #else use the whole remainder for this chunk
chunkSet.append(chunk)
remainder -= chunk
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: #i.e. remainder==0
chunkSets.append(list(chunkSet)) #save completed partition
prevChunkSet = list(chunkSet)
if chunkSet[-1] > 1: # if the finalchunk was > 1, do further recursion
remainder = chunkSet.pop() #remove last member, and use it as remainder
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: # last chunk is 1
if chunkSet[0]==1: #the partition started with 1, we know we're finished
return chunkSets
else: #i.e. still more chunking to go
# clear back to last chunk greater than 1
while chunkSet[-1]==1:
remainder += chunkSet.pop()
remainder += chunkSet.pop()
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
partitions = []
magic_chunker(10, [], [], partitions)
print partitions
>> [[10], [9, 1], [8, 2], [8, 1, 1], [7, 3], [7, 2, 1], [7, 1, 1, 1], [6, 4], [6, 3, 1], [6, 2, 2], [6, 2, 1, 1], [6, 1, 1, 1, 1], [5, 5], [5, 4, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 1, 1], [5, 2, 2, 1], [5, 2, 1, 1, 1], [5, 1, 1, 1, 1, 1], [4, 4, 2], [4, 4, 1, 1], [4, 3, 3], [4, 3, 2, 1], [4, 3, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2], [4, 2, 2, 1, 1], [4, 2, 1, 1, 1, 1], [4, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 3, 3, 1], [3, 3, 2, 2], [3, 3, 2, 1, 1], [3, 3, 1, 1, 1, 1], [3, 2, 2, 2, 1], [3, 2, 2, 1, 1, 1], [3, 2, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 2], [2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
別のJavaソリューション。指定された番号のみである最初のパーティションを作成することから始まります。次に、1より大きい最後に作成されたパーティションの最後の番号を見つけるwhileループに入ります。番号それは配列内の次の番号に1を移動します。次の番号が見つかった番号と同じになる場合は、行の次の番号に移動します。最後に作成されたパーティションの最初の番号が1になると、ループが停止します。すべてのパーティションで降順で並べ替えられます。
番号5の例。最初に、番号5だけの最初のパーティションを作成します。次に、最後のパーティションで1より大きい最後の番号を見つけます。最後のパーティションは配列[5、0、0、0、0]なので、番号を見つけます。インデックス0で5。次に、5から1を取り、次の位置に移動します。これがパーティション[4、1、0、0、0]を取得する方法です。再びループに入ります。これで、4から1を取り、それを上に移動して、[3、2、0、0、0]を取得します。次に同じことをすると、[3、1、1、0、0]が得られます。次の反復で、[2、2、1、0、0]を取得します。ここで、2番目の2から1を取り、1があるインデックス2に移動しようとします。2も取得し、パーティション[2、1、2、0、0]があるため、次のインデックスにスキップします。最後のものの単なる複製です。代わりに、[2、1、1、1、0]を取得します。そして最後のステップで[1、1、1、1、1]に到達し、新しいパーティションの最初の数が1であるため、ループが存在します。
private static List<int[]> getNumberPartitions(int n) {
ArrayList<int[]> result = new ArrayList<>();
int[] initial = new int[n];
initial[0] = n;
result.add(initial);
while (result.get(result.size() - 1)[0] > 1) {
int[] lastPartition = result.get(result.size() - 1);
int posOfLastNotOne = 0;
for(int k = lastPartition.length - 1; k >= 0; k--) {
if (lastPartition[k] > 1) {
posOfLastNotOne = k;
break;
}
}
int[] newPartition = new int[n];
for (int j = posOfLastNotOne + 1; j < lastPartition.length; j++) {
if (lastPartition[posOfLastNotOne] - 1 > lastPartition[j]) {
System.arraycopy(lastPartition, 0, newPartition, 0, lastPartition.length);
newPartition[posOfLastNotOne]--;
newPartition[j]++;
result.add(newPartition);
break;
}
}
}
return result;
}
これが私がHaskellで書いたパラモルフィズムを使用する際の解決策です。
import Numeric.Natural (Natural)
import Control.Monad (join)
import Data.List (nub)
import Data.Functor.Foldable (ListF (..), para)
partitions :: Natural -> [[Natural]]
partitions = para algebra
where algebra Nothing = []
algebra (Just (0,_)) = [[1]]
algebra (Just (_, past)) = (nub . (getAll =<<)) (fmap (1:) past)
getAll :: [Natural] -> [[Natural]]
getAll = fmap (dropWhile (==0) . sort) . subsets
where subsets xs = flip sumIndicesAt xs <$> indices xs
indices :: [Natural] -> [[Natural]]
indices = join . para algebra
where algebra Nil = []
algebra (Cons x (xs, [])) = [[x:xs]]
algebra (Cons x (xs, past)) = (:) <$> [x:xs,[]] <*> past
それは間違いなく周りで最も効率的なものではありませんが、それは非常にエレガントで確かに有益だと思います。
これがこの質問のJavaコードです
static void printArray(int p[], int n){
for (int i = 0; i < n; i++)
System.out.print(p[i]+" ");
System.out.println();
}
// Function to generate all unique partitions of an integer
static void printAllUniqueParts(int n) {
int[] p = new int[n]; // An array to store a partition
int k = 0; // Index of last element in a partition
p[k] = n; // Initialize first partition as number itself
// This loop first prints current partition, then generates next
// partition. The loop stops when the current partition has all 1s
while (true) {
// print current partition
printArray(p, k + 1);
// Generate next partition
// Find the rightmost non-one value in p[]. Also, update the
// rem_val so that we know how much value can be accommodated
int rem_val = 0;
while (k >= 0 && p[k] == 1) {
rem_val += p[k];
k--;
}
// if k < 0, all the values are 1 so there are no more partitions
if (k < 0){
break;
}
// Decrease the p[k] found above and adjust the rem_val
p[k]--;
rem_val++;
while (rem_val > p[k]) {
p[k + 1] = p[k];
rem_val = rem_val - p[k];
k++;
}
p[k + 1] = rem_val;
k++;
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("All Unique Partitions of 5");
printAllUniqueParts(5);
System.out.println("All Unique Partitions of 7");
printAllUniqueParts(7);
System.out.println("All Unique Partitions of 9");
printAllUniqueParts(8);
}
これが私のRust実装（ Pythonアルゴリズムとデータ構造 に触発された））です：
#[derive(Clone)]
struct PartitionIter {
pub n: u32,
partition: Vec<u32>,
last_not_one_index: usize,
started: bool,
finished: bool
}
impl PartitionIter {
pub fn new(n: u32) -> PartitionIter {
PartitionIter {
n,
partition: Vec::with_capacity(n as usize),
last_not_one_index: 0,
started: false,
finished: false,
}
}
}
impl Iterator for PartitionIter {
type Item = Vec<u32>;
fn next(&mut self) -> Option<Self::Item> {
if self.finished {
return None
}
if !self.started {
self.partition.Push(self.n);
self.started = true;
return Some(self.partition.clone());
} else if self.n == 1 {
return None;
}
if self.partition[self.last_not_one_index] == 2 {
self.partition[self.last_not_one_index] = 1;
self.partition.Push(1);
if self.last_not_one_index == 0 {
self.finished = true;
} else {
self.last_not_one_index -= 1;
}
return Some(self.partition.clone())
}
let replacement = self.partition[self.last_not_one_index] - 1;
let total_replaced = replacement + (self.partition.len() - self.last_not_one_index) as u32;
let reps = total_replaced / replacement;
let rest = total_replaced % replacement;
self.partition.drain(self.last_not_one_index..);
self.partition.extend_from_slice(&vec![replacement; reps as usize]);
if rest > 0 {
self.partition.Push(rest);
}
self.last_not_one_index = self.partition.len() - (self.partition.last().cloned().unwrap() == 1) as usize - 1;
Some(self.partition.clone())
}
}