独自の平方根関数を書く
以下は、N> 0の場合にfloor（sqrt（N））を計算します。
x = 2^ceil(numbits(N)/2)
loop:
y = floor((x + floor(N/x))/2)
if y >= x
return x
x = y
これは、Crandall＆Pomerance、「Prime Numbers：A Computational Perspective」に記載されているニュートンの方法のバージョンです。このバージョンを使用する理由は、自分が何をしているのかを知っている人が、平方根のフロアに正確に収束することを証明しているためです。また、高速です（さらに高速なアルゴリズムを構築することも可能ですが、それを正しく行うことははるかに複雑です）。適切に実装されたバイナリ検索は、非常に小さいNの場合は高速になりますが、ルックアップテーブルを使用することもできます。
に丸める 最も近い 整数、上記のアルゴリズムを使用してt = floor（sqrt（4N））を計算します。 tの最下位ビットが設定されている場合、x =（t + 1）/ 2を選択します。それ以外の場合は、t/2を選択します。これはタイで切り上げられることに注意してください。剰余がゼロ以外かどうか（つまり、t ^ 2 == 4Nかどうか）を調べることで、切り捨てる（または偶数に丸める）こともできます。
浮動小数点演算を使用する必要がないことに注意してください。実際、そうすべきではありません。このアルゴリズムは、完全に整数を使用して実装する必要があります（特に、floor（）関数は、通常の整数除算を使用することを示すだけです）。
ニーズに応じて、単純な分割統治戦略を使用できます。他の方法のようにfastとして収束することはありませんが、初心者にとっては理解しやすいかもしれません。さらに、O（log n）アルゴリズム（各反復で探索空間を半分にする）であるため、32ビットの浮動小数点数の最悪のケースは32反復です。
62.104の平方根が必要だとしましょう。 0とその中間の値を選択し、2乗します。正方形が数値よりも大きい場合、中間点よりも小さい数値に集中する必要があります。低すぎる場合は、高い方に集中してください。
実際の数学では、検索空間を永久に2つに分割し続けることができます（合理的な平方根がない場合）。実際には、コンピューターは最終的に精度が不足し、近似値が得られます。次のCプログラムはそのポイントを示しています。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main (int argc, char *argv[]) {
float val, low, high, mid, oldmid, midsqr;
int step = 0;
// Get argument, force to non-negative.
if (argc < 2) {
printf ("Usage: sqrt <number>\n");
return 1;
}
val = fabs (atof (argv[1]));
// Set initial bounds and print heading.
low = 0;
high = mid = val;
oldmid = -1;
printf ("%4s %10s %10s %10s %10s %10s %s\n",
"Step", "Number", "Low", "High", "Mid", "Square", "Result");
// Keep going until accurate enough.
while (fabs(oldmid - mid) >= 0.00001) {
oldmid = mid;
// Get midpoint and see if we need lower or higher.
mid = (high + low) / 2;
midsqr = mid * mid;
printf ("%4d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f ",
++step, val, low, high, mid, midsqr);
if (mid * mid > val) {
high = mid;
printf ("- too high\n");
} else {
low = mid;
printf ("- too low\n");
}
}
// Desired accuracy reached, print it.
printf ("sqrt(%.4f) = %.4f\n", val, mid);
return 0;
}
ここにいくつかの実行がありますので、うまくいけばそれがどのように機能するかを知ることができます。 77の場合：
pax> sqrt 77
Step Number Low High Mid Square Result
1 77.0000 0.0000 77.0000 38.5000 1482.2500 - too high
2 77.0000 0.0000 38.5000 19.2500 370.5625 - too high
3 77.0000 0.0000 19.2500 9.6250 92.6406 - too high
4 77.0000 0.0000 9.6250 4.8125 23.1602 - too low
5 77.0000 4.8125 9.6250 7.2188 52.1104 - too low
6 77.0000 7.2188 9.6250 8.4219 70.9280 - too low
7 77.0000 8.4219 9.6250 9.0234 81.4224 - too high
8 77.0000 8.4219 9.0234 8.7227 76.0847 - too low
9 77.0000 8.7227 9.0234 8.8730 78.7310 - too high
10 77.0000 8.7227 8.8730 8.7979 77.4022 - too high
11 77.0000 8.7227 8.7979 8.7603 76.7421 - too low
12 77.0000 8.7603 8.7979 8.7791 77.0718 - too high
13 77.0000 8.7603 8.7791 8.7697 76.9068 - too low
14 77.0000 8.7697 8.7791 8.7744 76.9893 - too low
15 77.0000 8.7744 8.7791 8.7767 77.0305 - too high
16 77.0000 8.7744 8.7767 8.7755 77.0099 - too high
17 77.0000 8.7744 8.7755 8.7749 76.9996 - too low
18 77.0000 8.7749 8.7755 8.7752 77.0047 - too high
19 77.0000 8.7749 8.7752 8.7751 77.0022 - too high
20 77.0000 8.7749 8.7751 8.7750 77.0009 - too high
21 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 77.0002 - too high
22 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 76.9999 - too low
23 77.0000 8.7750 8.7750 8.7750 77.0000 - too low
sqrt(77.0000) = 8.7750
62.104の場合：
pax> sqrt 62.104
Step Number Low High Mid Square Result
1 62.1040 0.0000 62.1040 31.0520 964.2267 - too high
2 62.1040 0.0000 31.0520 15.5260 241.0567 - too high
3 62.1040 0.0000 15.5260 7.7630 60.2642 - too low
4 62.1040 7.7630 15.5260 11.6445 135.5944 - too high
5 62.1040 7.7630 11.6445 9.7037 94.1628 - too high
6 62.1040 7.7630 9.7037 8.7334 76.2718 - too high
7 62.1040 7.7630 8.7334 8.2482 68.0326 - too high
8 62.1040 7.7630 8.2482 8.0056 64.0895 - too high
9 62.1040 7.7630 8.0056 7.8843 62.1621 - too high
10 62.1040 7.7630 7.8843 7.8236 61.2095 - too low
11 62.1040 7.8236 7.8843 7.8540 61.6849 - too low
12 62.1040 7.8540 7.8843 7.8691 61.9233 - too low
13 62.1040 7.8691 7.8843 7.8767 62.0426 - too low
14 62.1040 7.8767 7.8843 7.8805 62.1024 - too low
15 62.1040 7.8805 7.8843 7.8824 62.1323 - too high
16 62.1040 7.8805 7.8824 7.8815 62.1173 - too high
17 62.1040 7.8805 7.8815 7.8810 62.1098 - too high
18 62.1040 7.8805 7.8810 7.8807 62.1061 - too high
19 62.1040 7.8805 7.8807 7.8806 62.1042 - too high
20 62.1040 7.8805 7.8806 7.8806 62.1033 - too low
21 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1038 - too low
22 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1040 - too high
23 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1039 - too high
sqrt(62.1040) = 7.8806
49の場合：
pax> sqrt 49
Step Number Low High Mid Square Result
1 49.0000 0.0000 49.0000 24.5000 600.2500 - too high
2 49.0000 0.0000 24.5000 12.2500 150.0625 - too high
3 49.0000 0.0000 12.2500 6.1250 37.5156 - too low
4 49.0000 6.1250 12.2500 9.1875 84.4102 - too high
5 49.0000 6.1250 9.1875 7.6562 58.6182 - too high
6 49.0000 6.1250 7.6562 6.8906 47.4807 - too low
7 49.0000 6.8906 7.6562 7.2734 52.9029 - too high
8 49.0000 6.8906 7.2734 7.0820 50.1552 - too high
9 49.0000 6.8906 7.0820 6.9863 48.8088 - too low
10 49.0000 6.9863 7.0820 7.0342 49.4797 - too high
11 49.0000 6.9863 7.0342 7.0103 49.1437 - too high
12 49.0000 6.9863 7.0103 6.9983 48.9761 - too low
13 49.0000 6.9983 7.0103 7.0043 49.0598 - too high
14 49.0000 6.9983 7.0043 7.0013 49.0179 - too high
15 49.0000 6.9983 7.0013 6.9998 48.9970 - too low
16 49.0000 6.9998 7.0013 7.0005 49.0075 - too high
17 49.0000 6.9998 7.0005 7.0002 49.0022 - too high
18 49.0000 6.9998 7.0002 7.0000 48.9996 - too low
19 49.0000 7.0000 7.0002 7.0001 49.0009 - too high
20 49.0000 7.0000 7.0001 7.0000 49.0003 - too high
21 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too low
22 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0001 - too high
23 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too high
sqrt(49.0000) = 7.0000
Xの平方根を計算するための単純な（ただし非常に高速ではない）メソッド：
squareroot(x)
if x<0 then Error
a = 1
b = x
while (abs(a-b)>ErrorMargin)
a = (a+b)/2
b = x/a
endwhile
return a;
例：squareroot（70000）
a b
1 70000
35001 2
17502 4
8753 8
4381 16
2199 32
1116 63
590 119
355 197
276 254
265 264
ご覧のとおり、平方根の上限と下限を定義し、サイズが許容範囲になるまで境界を狭くします。
より効率的な方法がありますが、これはプロセスを示しており、理解しやすいものです。
整数を使用する場合は、無限ループがある場合、Errormarginを1に設定してください。
逆平方根1/sqrt（x）を計算する非常に興味深い方法を指摘させてください。または、次の投稿を読んでください。
http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root/
PS：私はあなたが平方根だけを望むことを知っているが、地震の優雅さが私の側のすべての抵抗を克服した:)
ところで、上記の記事はどこか退屈なニュートン・ラフソン近似についても述べています。
もちろんおおよそです。これが、浮動小数点数を使用した数学の仕組みです。
とにかく、標準的な方法は Newtonのメソッド です。これは、テイラーのシリーズを使用するのとほぼ同じで、すぐに思い浮かぶもう1つの方法です。
Pythonで任意の精度で平方根を計算する
#!/usr/bin/env python
import decimal
def sqrt(n):
assert n > 0
with decimal.localcontext() as ctx:
ctx.prec += 2 # increase precision to minimize round off error
x, prior = decimal.Decimal(n), None
while x != prior:
prior = x
x = (x + n/x) / 2 # quadratic convergence
return +x # round in a global context
decimal.getcontext().prec = 80 # desirable precision
r = sqrt(12345)
print r
print r == decimal.Decimal(12345).sqrt()
出力：
111.10805551354051124500443874307524148991137745969772997648567316178259031751676
True
整数平方根 に関する素晴らしい記事を見つけました。
これは、そこに提示されているわずかに改善されたバージョンです。
unsigned long sqrt(unsigned long a){
int i;
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
for (i = 0; i < 16; i++){
root <<= 1;
rem = (rem << 2) | (a >> 30);
a <<= 2;
if(root < rem){
root++;
rem -= root;
root++;
}
}
return root >> 1;
}
これは、Facebookなどからよく聞かれるインタビューの質問です。インタビューでニュートンの方法を使用するのは良い考えだとは思いません。インタビュアーが、あなたがそれを本当に理解していないときにニュートンの方法のメカニズムを尋ねたらどうなるでしょうか？
Javaでバイナリ検索ベースのソリューションを提供しましたが、誰もが理解できると思います。
public int sqrt(int x) {
if(x < 0) return -1;
if(x == 0 || x == 1) return x;
int lowerbound = 1;
int upperbound = x;
int root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
while(root > x/root || root+1 <= x/(root+1)){
if(root > x/root){
upperbound = root;
} else {
lowerbound = root;
}
root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
}
return root;
}
ここで私のコードをテストできます： leetcode：sqrt（x）
三角法を使用して平方根を取得する方法を次に示します。ロングショットによる最速のアルゴリズムではありませんが、正確です。コードはjavascriptにあります：
var n = 5; //number to get the square root of
var icr = ((n+1)/2); //intersecting circle radius
var sqrt = Math.cos(Math.asin((icr-1)/icr))*icr; //square root of n
alert(sqrt);
学校で学んだアルゴリズムがあり、これを使用して正確な平方根を計算できます（または、根が無理数の場合は任意の精度）。ニュートンのアルゴリズムよりも明らかに遅いですが、正確です。 531.3025の平方根を計算するとします
最初に、小数点から始まる数字を2桁のグループに分割します。
{5} {31}。{30} {25}
その後：
1）最初のグループの実際の平方根以下である最初のグループの最も近い平方根を見つけます：sqrt（{5}）> =2。この平方根は最終回答の最初の数字です。最終平方根のBとして既に見つかっている数字を示しましょう。したがって、現時点ではB = 2です。
2）次に、{5}とB ^ 2の差を計算します：5-4 = 1。
3）後続のすべての2桁のグループについて、以下を実行します。
残りを100倍し、2番目のグループに追加します：100 + 31 = 131。
Xを見つける-ルートの次の桁。131> =（（B * 20）+ X）* Xなど。 X =3。43* 3 = 129 <131。B=23。また、小数点の左側に2桁のグループがないため、最終ルートのすべての整数桁が見つかりました。
4）{30}と{25}についても同じことを繰り返します。だからあなたが持っています：
{30}：131-129 = 2. 2 * 100 + 30 = 230> =（23 * 2 * 10 + X）* X-> X = 0-> B = 23.0
{25}：230-0 = 230. 230 * 100 + 25 =23025。23025> =（230 * 2 * 10 + X）* X-> X = 5-> B = 23.05
最終結果= 23.05。
アルゴリズムはこのように複雑に見えますが、学校で勉強した「長い除算」に使用するのと同じ表記法を使用して紙上で行うと、除算を行わずに計算することを除いてはるかに簡単です平方根。
// Fastest way I found, an (extreme) C# unrolled version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/isqrt.c.txt (isqrt4)
// It's quite a lot of code, basically a binary search (the "if" statements)
// followed by an unrolled loop (the labels).
// Most important: it's fast, twice as fast as "Math.Sqrt".
// On my pc: Math.Sqrt ~35 ns, sqrt <16 ns (mean <14 ns)
private static uint sqrt(uint x)
{
uint y, z;
if (x < 1u << 16)
{
if (x < 1u << 08)
{
if (x < 1u << 04) return x < 1u << 02 ? x + 3u >> 2 : x + 15u >> 3;
else
{
if (x < 1u << 06)
{ y = 1u << 03; x -= 1u << 04; if (x >= 5u << 02) { x -= 5u << 02; y |= 1u << 02; } goto L0; }
else
{ y = 1u << 05; x -= 1u << 06; if (x >= 5u << 04) { x -= 5u << 04; y |= 1u << 04; } goto L1; }
}
}
else // slower (on my pc): .... y = 3u << 04; } goto L1; }
{
if (x < 1u << 12)
{
if (x < 1u << 10)
{ y = 1u << 07; x -= 1u << 08; if (x >= 5u << 06) { x -= 5u << 06; y |= 1u << 06; } goto L2; }
else
{ y = 1u << 09; x -= 1u << 10; if (x >= 5u << 08) { x -= 5u << 08; y |= 1u << 08; } goto L3; }
}
else
{
if (x < 1u << 14)
{ y = 1u << 11; x -= 1u << 12; if (x >= 5u << 10) { x -= 5u << 10; y |= 1u << 10; } goto L4; }
else
{ y = 1u << 13; x -= 1u << 14; if (x >= 5u << 12) { x -= 5u << 12; y |= 1u << 12; } goto L5; }
}
}
}
else
{
if (x < 1u << 24)
{
if (x < 1u << 20)
{
if (x < 1u << 18)
{ y = 1u << 15; x -= 1u << 16; if (x >= 5u << 14) { x -= 5u << 14; y |= 1u << 14; } goto L6; }
else
{ y = 1u << 17; x -= 1u << 18; if (x >= 5u << 16) { x -= 5u << 16; y |= 1u << 16; } goto L7; }
}
else
{
if (x < 1u << 22)
{ y = 1u << 19; x -= 1u << 20; if (x >= 5u << 18) { x -= 5u << 18; y |= 1u << 18; } goto L8; }
else
{ y = 1u << 21; x -= 1u << 22; if (x >= 5u << 20) { x -= 5u << 20; y |= 1u << 20; } goto L9; }
}
}
else
{
if (x < 1u << 28)
{
if (x < 1u << 26)
{ y = 1u << 23; x -= 1u << 24; if (x >= 5u << 22) { x -= 5u << 22; y |= 1u << 22; } goto La; }
else
{ y = 1u << 25; x -= 1u << 26; if (x >= 5u << 24) { x -= 5u << 24; y |= 1u << 24; } goto Lb; }
}
else
{
if (x < 1u << 30)
{ y = 1u << 27; x -= 1u << 28; if (x >= 5u << 26) { x -= 5u << 26; y |= 1u << 26; } goto Lc; }
else
{ y = 1u << 29; x -= 1u << 30; if (x >= 5u << 28) { x -= 5u << 28; y |= 1u << 28; } }
}
}
}
z = y | 1u << 26; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 26; }
Lc: z = y | 1u << 24; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 24; }
Lb: z = y | 1u << 22; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 22; }
La: z = y | 1u << 20; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 20; }
L9: z = y | 1u << 18; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 18; }
L8: z = y | 1u << 16; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 16; }
L7: z = y | 1u << 14; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 14; }
L6: z = y | 1u << 12; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 12; }
L5: z = y | 1u << 10; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 10; }
L4: z = y | 1u << 08; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 08; }
L3: z = y | 1u << 06; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 06; }
L2: z = y | 1u << 04; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 04; }
L1: z = y | 1u << 02; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 02; }
L0: return x > y ? y / 2 | 1u : y / 2;
}
最初に思い浮かぶのは、これがバイナリ検索を使用するのに適した場所であることです（この素晴らしい tutorials に触発されました）。
vauleの平方根を見つけるために、(1..value)のnumberを検索します。ここで、予測子が初めて真になります。選択する予測子はnumber * number - value > 0.00001です。
double square_root_of(double value)
{
assert(value >= 1);
double lo = 1.0;
double hi = value;
while( hi - lo > 0.00001)
{
double mid = lo + (hi - lo) / 2 ;
std::cout << lo << "," << hi << "," << mid << std::endl;
if( mid * mid - value > 0.00001) //this is the predictors we are using
{
hi = mid;
} else {
lo = mid;
}
}
return lo;
}
バイナリ検索を使用する
public class FindSqrt {
public static void main(String[] strings) {
int num = 10000;
System.out.println(sqrt(num, 0, num));
}
private static int sqrt(int num, int min, int max) {
int middle = (min + max) / 2;
int x = middle * middle;
if (x == num) {
return middle;
} else if (x < num) {
return sqrt(num, middle, max);
} else {
return sqrt(num, min, middle);
}
}
}
名前が示すように、逆もありますが、「十分に近い」ことは「十分に近い」こともあります。とにかく面白い読み物。
一般に、整数の平方根（2など）はonlyに近似できます（浮動小数点演算の問題ではなく、正確に計算できない無理数であるため） ）。
もちろん、いくつかの近似は他の近似よりも優れています。もちろん、値1.732は1.7よりも3の平方根のより良い近似であることを意味します
指定したリンクでコードが使用する方法は、最初の近似値を取得し、それを使用してbetter近似値を計算します。
これはニュートン法と呼ばれ、新しい近似ごとに計算を繰り返すことができますntilそれは十分正確です。
実際、must繰り返しをいつ停止するかを決定する何らかの方法があると、繰り返しを永久に実行します。
通常、近似値の差がより小さい決定した値である場合に停止します。
編集：あなたがすでに見つけた2つよりも簡単な実装があるとは思わない。
バイナリ検索を使用して、フロート平方根と任意の精度を処理できるシンプルなソリューション
rubyでコーディング
include Math
def sqroot_precision num, precision
upper = num
lower = 0
middle = (upper + lower)/2.0
while true do
diff = middle**2 - num
return middle if diff.abs <= precision
if diff > 0
upper = middle
else diff < 0
lower = middle
end
middle = (upper + lower)/2.0
end
end
puts sqroot_precision 232.3, 0.0000000001
すでにかなりの数の答えがありますが、ここに私の答えがあります。これは最も簡単なコードです（私にとって）。ここに アルゴリズム があります。
python 2.7のコード：
from __future__ import division
val = 81
x = 10
def sqr(data,x):
temp = x - ( (x**2 - data)/(2*x))
if temp == x:
print temp
return
else:
x = temp
return sqr(data,x)
#x =temp
#sqr(data,x)
sqr(val,x)
2の平方根を見つけようとしており、推定値が1.5であるとします。 a = 2、x = 1.5と言います。より良い推定値を計算するために、aをxで除算します。これにより、新しい値y = 1.333333が得られます。ただし、これを次の推定値とすることはできません（なぜですか？）。以前の推定値で平均化する必要があります。したがって、次の推定値xxは（x + y）/ 2または1.416666になります。
Double squareRoot(Double a, Double epsilon) {
Double x = 0d;
Double y = a;
Double xx = 0d;
// Make sure both x and y != 0.
while ((x != 0d || y != 0d) && y - x > epsilon) {
xx = (x + y) / 2;
if (xx * xx >= a) {
y = xx;
} else {
x = xx;
}
}
return xx;
}
Epsilonは、近似の精度を決定します。関数は、abs（x * x-a）<epsilonを満たす最初の近似値xを返す必要があります。ここで、abs（x）はxの絶対値です。
square_root(2, 1e-6)
Output: 1.4142141342163086