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複雑さO(log(n))はO（sqrt（n））と同等ですか？

私の教授は、入力の長さを半分にする操作にはO(log(n))の複雑さが経験則だと教えてくれました。なぜO（sqrt（n））ではないのですか、両方とも同等ではありませんか？

algorithmtime-complexity
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white_tree

それらは同等ではありません：sqrt（N）はlog2（N）。定数はありませんCなので、Nのすべての値に対してsqrt（N）<C.log（N）になります。 =ある最小値より大きい。

これを取得する簡単な方法は、log2（N）はNの（2進）桁数に近い値になりますが、sqrt（N）はそれ自身の数になりますNの桁数の半分。または、平等でそれを述べるには：

- ログ2（N 2log2（sqrt（N）））==

したがって、sqrt（N）の対数（！）を取得して、log2（N）。

たとえば、11桁の2進数の場合、0b10000000000（= 210）、平方根は0b100000ですが、対数は10のみです。

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trincot

natural logarithm（そうでなければ定数を掛けるだけ）と仮定すると、

lim {n->inf} log n / sqrt(n) = (inf / inf)

                        =  lim {n->inf} 1/n / 1/(2*sqrt(n)) (by L'Hospital)
                        =  lim {n->inf} 2*sqrt(n)/n
                        =  lim {n->inf} 2/sqrt(n)
                        =  0 < inf

O(.)の代替定義については https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation を参照してください。これにより、上記からlog n = O(sqrt(n))と言うことができます。

また、以下の関数の成長を比較してください。log nは、_nが大きい場合、常にsqrt(n)によって上限が設定されます。

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Sandipan Dey

いいえ、同等ではありません。

@trincotは、彼の答えに例を使って1つの優れた説明をしました。もう1つポイントを追加します。あなたの教授が教えてくれました

any operation that halves the length of the input has an O(log(n)) complexity

それも真実です

any operation that reduces the length of the input by 2/3rd, has a O(log3(n)) complexity
any operation that reduces the length of the input by 3/4th, has a O(log4(n)) complexity
any operation that reduces the length of the input by 4/5th, has a O(log5(n)) complexity
So on ...

(B-1)/Bth.による入力の長さのすべての短縮にも当てはまります。その場合、O(logB(n))の複雑さを持ちます。

N:B:O(logB(n))はBベースのnの対数を意味します

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jbsu32

いいえ、それらはnotと同等です。あなたもそれを証明することができます

   O(n**k) > O(log(n, base))

k > 0およびbase > 1（sqrtの場合はk = 1/2）に対して。

O(f(n))で話すとき、largen、limitsの動作を調査したいはそのための良い手段です。両方の大きなOが同等であるとします：

  O(n**k) = O(log(n, base))

つまり、いくつかの有限定数Cがあり、

  O(n**k) <= C * O(log(n, base))

十分な大きさのn;言い換えると（log(n, base)は0ではなくnから始まり、両方の関数は継続的に微分可能です）：

  lim(n**k/log(n, base)) = C 
  n->+inf

制限の値を見つけるには、 L'Hospital's Rule を使用します。つまり、分子と分母の微分を取り、それらを除算します。

  lim(n**k/log(n)) = 

  lim([k*n**(k-1)]/[ln(base)/n]) =

  ln(base) * k * lim(n**k) = +infinity

そのため、O(n**k) < C*log(n, base)などの定数Cは存在しないと結論付けることができます。

 O(n**k) > O(log(n, base))
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Dmitry Bychenko

いいえ、そうではありません。時間の複雑さを扱うとき、入力を非常に大きな数と考えます。それで、n = 2 ^ 18を取りましょう。 sqrt（n）の操作数は2 ^ 9になり、log（n）の場合は18になります（ここでは2を底とするログを考えます）。明らかに2 ^ 9は18よりはるかに大きいので、O（log n）はO（sqrt n）よりも小さいと言えます。

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androidGeek