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nノード間の接続の最大数を証明する方法はn *（n-1）/ 2です

N個のノードが与えられた場合、すべてのノードが他のすべてのノード（それ自体を除く）に接続されている場合、接続数はn *（n-1）/ 2になります。

これをどのように証明しますか？

これは宿題の質問ではありません。私は長い間CSの教科書から離れていて、これを証明する方法についての理論を忘れていました。

algorithmgraphgraph-algorithmdiscrete-mathematics
12
Manohar

そしてもう1つの解決策、組み合わせ：問題は、グラフ内のノードの可能なペアの数に相当します。

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16
SomeWittyUsername

n個のノードがあり、それぞれにn -1個の接続があります（それぞれがそれ自体を除くすべてのノードに接続されています）。したがって、n*(n-1)を取得します。ただし、接続（x、y）と（y、x）は（すべての接続で）同じであるため、最終的にはn*(n-1)/2になります。

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Aram Gevorgyan

悪い命名法で申し訳ありませんが、私は物理学者であり、CS /数学の人ではありません。

すべての単一ノード（nがあります）は、他のすべてのノードに接続する必要があります。 _(n-1)_「他のすべて」があります。

したがって、各nノードには_n-1_接続があります。 n(n-1)

ただし、各接続は「双方向」_(a to b = b to a)_であるため、最終的には_1/2_の係数になります。

だからn*(n-1)/2

11
user1512321

帰納法による証明。基本ケース-2ノードの場合、1つの接続と_2 * 1 / 2 == 1_があります。ここで、Nノードに対してN * (N-1) / 2接続があると仮定します。ノードをもう1つ追加するには、Nの追加接続を確立する必要があります。

_N * (N-1) / 2 + N =
(N^2 - N + 2N) / 2 =
(N^2 + N) / 2 =
(N + 1) * N / 2
_

この最後の行は正確にN * (N - 1) / 2であり、Nが_N+1_に置き換えられているため、証明は適切です。

2
twalberg

各頂点の 次数 は_n-1_です（_n-1_ネイバーがあるため）。
握手補題、言います：Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|。したがって：

_Sigma(deg(v)) (for each node) = 2|E|
Sigma(n-1) (for each node) = 2|E|
(n-1)*n = 2|E|
|E| = (n-1)*n /2 
_

[〜＃〜] qed [〜＃〜]

1
amit

1ノードの場合：n接続

2ノードの場合：n-1接続（すでに最初のノードが接続されています）

3ノードの場合：n-2接続.. nノードの場合：n-（n-1）接続

したがって、合計接続数= n + n-1 + n-2 + ........ 1

                        = n(n-1)/2 (sum of first n-1 natural numbers)
1
rsirs

別の可能な方程式ですが、上記の提案ほどクリーンではありません（（n/2）-0.5）* n

0
Adam Glazier

遅れて証明ではありませんが、ノードを座標として「視覚化」し、行列のセルとして関係を「視覚化」することができます。ここで何かを描画する方法がわかりません。

ノードごとに1列、ノードごとに1行、クロスのセルがリレーションです。

X x個の可能なセルがあります。ただし、左上から右下の対角セルを削除する必要があります（ノードはノード自体にリンクできます）。したがって、x個のセルを削除すると、（x xx）=のみになります。 x *（x-1）残りのセル。次に、セル（x、y）はセル（y、x）と同じリンクであるため、残りのセルの半分を削除できます：x *（x-1）/ 2

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Francois Cerbelle

N個のネットワークノードから可能なリンクの最大数を決定するための最も適切な答えは...

リンクに2つのノードが必要な場合の可能な組み合わせ/接続の総数。そう：

_(N!) / [(N-2)!)(2!)] = N(N-1)(N-2)! / (N-2)!(2!);_

S o N(N-1) / 2

ここで、_N>1_は、リンクを持つのに2つのノードが必要なためです。

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Dino