加算とシフトに関して乗算するには、次のように、数値の1つを2の累乗で分解します。
21 * 5 = 10101_2 * 101_2 (Initial step)
= 10101_2 * (1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0)
= 10101_2 * 2^2 + 10101_2 * 2^0
= 10101_2 << 2 + 10101_2 << 0 (Decomposed)
= 10101_2 * 4 + 10101_2 * 1
= 10101_2 * 5
= 21 * 5 (Same as initial expression)
（_2はベース2を意味します）
ご覧のように、乗算は、加算とシフトに分解して、再び戻すことができます。これは、乗算がビットシフトまたは加算よりも長くかかる理由でもあります。ビット数がO(n)ではなく、O（n ^ 2）です。実際のコンピューターシステム（理論的なコンピューターシステムとは対照的に）のビット数は有限であるため、乗算には加算やシフトに比べて一定の倍数の時間がかかります。正しく思い出せば、最新のプロセッサは、適切にパイプライン化されていれば、プロセッサ内のALU（算術ユニット）の使用を台無しにすることで、加算とほぼ同じ速さで乗算を実行できます。
Andrew Toulouseによる答え は部門にも拡張できます。
整数定数による除算については、ヘンリーS.ウォーレンの著書「ハッカーの喜び」（ISBN 9780201914658）で詳細に検討されています。
除算を実装するための最初のアイデアは、2を底とする分母の逆値を記述することです。
例：1/3 = (base-2) 0.0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 .....
したがって、32ビット演算の場合はa/3 = (a >> 2) + (a >> 4) + (a >> 6) + ... + (a >> 30)です。
明確な方法で用語を組み合わせることにより、操作の数を減らすことができます。
b = (a >> 2) + (a >> 4)
b += (b >> 4)
b += (b >> 8)
b += (b >> 16)
除算と剰余を計算するよりエキサイティングな方法があります。
EDIT1：
OPが定数による除算ではなく、任意の数の乗算と除算を意味する場合、このスレッドは役に立つかもしれません： https://stackoverflow.com/a/12699549/118265
EDIT2：
整数定数で除算する最も速い方法の1つは、モジュラー算術演算とモンゴメリ還元を活用することです。 整数を3で除算する最も速い方法は何ですか？
X * 2 = 1ビット左シフト
X/2 = 1ビット右シフト
X * 3 = 1ビット左にシフトしてからXを追加
x << k == x multiplied by 2 to the power of kx >> k == x divided by 2 to the power of k
これらのシフトを使用して、乗算演算を実行できます。例えば：
x * 14 == x * 16 - x * 2 == (x << 4) - (x << 1)x * 12 == x * 8 + x * 4 == (x << 3) + (x << 2)
数値を2の累乗ではなく除算するために、低レベルのロジックを実装し、他のバイナリ演算を使用し、何らかの形式の反復を使用する場合を除き、簡単な方法を知りません。
- 1位置の左シフトは2の乗算に類似しています。右シフトは2の除算に類似しています。
- ループを追加して乗算できます。ループ変数と追加変数を正しく選択することにより、パフォーマンスを制限できます。それを調べたら、 Peasant Multiplication を使用する必要があります
PythonコードをCに翻訳しました。この例には小さな欠陥がありました。 32ビットすべてを占有する配当値の場合、シフトは失敗します。この問題を回避するために、64ビット変数を内部で使用しました。
int No_divide(int nDivisor, int nDividend, int *nRemainder)
{
int nQuotient = 0;
int nPos = -1;
unsigned long long ullDivisor = nDivisor;
unsigned long long ullDividend = nDividend;
while (ullDivisor < ullDividend)
{
ullDivisor <<= 1;
nPos ++;
}
ullDivisor >>= 1;
while (nPos > -1)
{
if (ullDividend >= ullDivisor)
{
nQuotient += (1 << nPos);
ullDividend -= ullDivisor;
}
ullDivisor >>= 1;
nPos -= 1;
}
*nRemainder = (int) ullDividend;
return nQuotient;
}
2つの数字を取ります。9と10の場合、それらを2進数として書き込みます-1001と1010。
0の結果Rから始めます。
数字の1つ（この場合は1010）を取り、Aと呼び、1ビット右にシフトします。1をシフトアウトする場合、最初の数字を加算し、RにBと呼びます。
ここで、Bを1ビット左にシフトし、すべてのビットがAからシフトされるまで繰り返します。
それが書かれているのを見ると、何が起こっているかを見るのが簡単です、これは例です：
0
0000 0
10010 1
000000 0
1001000 1
------
1011010
シフトと加算を使用する整数の除算手順は、小学校で教えられているように、10進数の長形式の除算から簡単に導き出すことができます。数字は0と1のいずれかであるため、各商の数字の選択は簡略化されます。現在の剰余が除数以上の場合、部分商の最下位ビットは1です。
10進の長さの除算と同様に、配当の桁は、最上位から最下位まで、一度に1桁と見なされます。これは、バイナリ除算の左シフトによって簡単に実現できます。また、商ビットは、現在の商ビットを左に1シフトし、新しい商ビットを追加することによって収集されます。
古典的な配置では、これらの2つの左シフトは、1つのレジスタペアの左シフトに結合されます。上半分は現在の残りを保持し、下半分の頭文字は配当を保持します。被除数ビットは左シフトによって剰余レジスタに転送されるため、下半分の未使用の最下位ビットが商ビットの累積に使用されます。
以下は、このアルゴリズムのx86アセンブリ言語とC実装です。現在の剰余から除数を減算することは、剰余が除数以上でない限り実行されないため、シフトと加算除算のこの特定のバリアントは「非実行」バリアントと呼ばれることもあります。 Cでは、レジスタペアの左シフトでアセンブリバージョンで使用されるキャリーフラグの概念はありません。代わりに、2を法とする加算の結果であるという観察に基づいてエミュレートされます。n キャリーアウトがあった場合にのみ、どちらかの加数より小さくすることができます。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#define USE_ASM 0
#if USE_ASM
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
uint32_t quot;
__asm {
mov eax, [dividend];// quot = dividend
mov ecx, [divisor]; // divisor
mov edx, 32; // bits_left
mov ebx, 0; // rem
$div_loop:
add eax, eax; // (rem:quot) << 1
adc ebx, ebx; // ...
cmp ebx, ecx; // rem >= divisor ?
jb $quot_bit_is_0; // if (rem < divisor)
$quot_bit_is_1: //
sub ebx, ecx; // rem = rem - divisor
add eax, 1; // quot++
$quot_bit_is_0:
dec edx; // bits_left--
jnz $div_loop; // while (bits_left)
mov [quot], eax; // quot
}
return quot;
}
#else
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
uint32_t quot, rem, t;
int bits_left = CHAR_BIT * sizeof (uint32_t);
quot = dividend;
rem = 0;
do {
// (rem:quot) << 1
t = quot;
quot = quot + quot;
rem = rem + rem + (quot < t);
if (rem >= divisor) {
rem = rem - divisor;
quot = quot + 1;
}
bits_left--;
} while (bits_left);
return quot;
}
#endif
here から取得。
これは除算専用です：
int add(int a, int b) {
int partialSum, carry;
do {
partialSum = a ^ b;
carry = (a & b) << 1;
a = partialSum;
b = carry;
} while (carry != 0);
return partialSum;
}
int subtract(int a, int b) {
return add(a, add(~b, 1));
}
int division(int dividend, int divisor) {
boolean negative = false;
if ((dividend & (1 << 31)) == (1 << 31)) { // Check for signed bit
negative = !negative;
dividend = add(~dividend, 1); // Negation
}
if ((divisor & (1 << 31)) == (1 << 31)) {
negative = !negative;
divisor = add(~divisor, 1); // Negation
}
int quotient = 0;
long r;
for (int i = 30; i >= 0; i = subtract(i, 1)) {
r = (divisor << i);
// Left shift divisor until it's smaller than dividend
if (r < Integer.MAX_VALUE && r >= 0) { // Avoid cases where comparison between long and int doesn't make sense
if (r <= dividend) {
quotient |= (1 << i);
dividend = subtract(dividend, (int) r);
}
}
}
if (negative) {
quotient = add(~quotient, 1);
}
return quotient;
}
以下の方法は、両方の数値が正であることを考慮したバイナリ除算の実装です。減算が懸念される場合は、バイナリ演算子を使用して減算を実装することもできます。
コード
-(int)binaryDivide:(int)numerator with:(int)denominator
{
if (numerator == 0 || denominator == 1) {
return numerator;
}
if (denominator == 0) {
#ifdef DEBUG
NSAssert(denominator==0, @"denominator should be greater then 0");
#endif
return INFINITY;
}
// if (numerator <0) {
// numerator = abs(numerator);
// }
int maxBitDenom = [self getMaxBit:denominator];
int maxBitNumerator = [self getMaxBit:numerator];
int msbNumber = [self getMSB:maxBitDenom ofNumber:numerator];
int qoutient = 0;
int subResult = 0;
int remainingBits = maxBitNumerator-maxBitDenom;
if (msbNumber >= denominator) {
qoutient |=1;
subResult = msbNumber - denominator;
}
else {
subResult = msbNumber;
}
while (remainingBits > 0) {
int msbBit = (numerator & (1 << (remainingBits-1)))>0?1:0;
subResult = (subResult << 1) | msbBit;
if(subResult >= denominator) {
subResult = subResult - denominator;
qoutient= (qoutient << 1) | 1;
}
else{
qoutient = qoutient << 1;
}
remainingBits--;
}
return qoutient;
}
-(int)getMaxBit:(int)inputNumber
{
int maxBit = 0;
BOOL isMaxBitSet = NO;
for (int i=0; i<sizeof(inputNumber)*8; i++) {
if (inputNumber & (1<<i)) {
maxBit = i;
isMaxBitSet=YES;
}
}
if (isMaxBitSet) {
maxBit+=1;
}
return maxBit;
}
-(int)getMSB:(int)bits ofNumber:(int)number
{
int numbeMaxBit = [self getMaxBit:number];
return number >> (numbeMaxBit - bits);
}
乗算の場合：
-(int)multiplyNumber:(int)num1 withNumber:(int)num2
{
int mulResult = 0;
int ithBit;
BOOL isNegativeSign = (num1<0 && num2>0) || (num1>0 && num2<0);
num1 = abs(num1);
num2 = abs(num2);
for (int i=0; i<sizeof(num2)*8; i++)
{
ithBit = num2 & (1<<i);
if (ithBit>0) {
mulResult += (num1 << i);
}
}
if (isNegativeSign) {
mulResult = ((~mulResult)+1);
}
return mulResult;
}
これは乗算で機能するはずです：
.data
.text
.globl main
main:
# $4 * $5 = $2
addi $4, $0, 0x9
addi $5, $0, 0x6
add $2, $0, $0 # initialize product to zero
Loop:
beq $5, $0, Exit # if multiplier is 0,terminate loop
andi $3, $5, 1 # mask out the 0th bit in multiplier
beq $3, $0, Shift # if the bit is 0, skip add
addu $2, $2, $4 # add (shifted) multiplicand to product
Shift:
sll $4, $4, 1 # shift up the multiplicand 1 bit
srl $5, $5, 1 # shift down the multiplier 1 bit
j Loop # go for next
Exit: #
EXIT:
li $v0,10
syscall
16ビットのx86ソリューションに興味がある人には、JasonKnighthere 1 によるコードがあります署名済みの乗算部分、私はテストしていません）。ただし、そのコードには、「add bx、bx」部分がオーバーフローする大きな入力の問題があります。
修正バージョン：
softwareMultiply:
; INPUT CX,BX
; OUTPUT DX:AX - 32 bits
; CLOBBERS BX,CX,DI
xor ax,ax ; cheap way to zero a reg
mov dx,ax ; 1 clock faster than xor
mov di,cx
or di,bx ; cheap way to test for zero on both regs
jz @done
mov di,ax ; DI used for reg,reg adc
@loop:
shr cx,1 ; divide by two, bottom bit moved to carry flag
jnc @skipAddToResult
add ax,bx
adc dx,di ; reg,reg is faster than reg,imm16
@skipAddToResult:
add bx,bx ; faster than shift or mul
adc di,di
or cx,cx ; fast zero check
jnz @loop
@done:
ret
またはGCCインラインアセンブリでも同じ：
asm("mov $0,%%ax\n\t"
"mov $0,%%dx\n\t"
"mov %%cx,%%di\n\t"
"or %%bx,%%di\n\t"
"jz done\n\t"
"mov %%ax,%%di\n\t"
"loop:\n\t"
"shr $1,%%cx\n\t"
"jnc skipAddToResult\n\t"
"add %%bx,%%ax\n\t"
"adc %%di,%%dx\n\t"
"skipAddToResult:\n\t"
"add %%bx,%%bx\n\t"
"adc %%di,%%di\n\t"
"or %%cx,%%cx\n\t"
"jnz loop\n\t"
"done:\n\t"
: "=d" (dx), "=a" (ax)
: "b" (bx), "c" (cx)
: "ecx", "edi"
);