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（N–1）+（N–2）+（N–3）+ ... + 1 = N *（N–1）/ 2の証明とは

この式は、バブルソートアルゴリズムのデータ構造の本から取得しました。

私たちは（n-1）*（n回）であることを知っていますが、なぜ2で割ったのですか？

誰でも私にこれを説明したり、詳細な証拠を教えてください。

ありがとうございました

formulaproof
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skystar7

三角形の数字 を参照してください。

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Viral Shah

三角形から始めます...

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これまでの1 + 2 + 3 + 4を表します。 1つの次元に沿って三角形を半分にカットします...

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小さい部分を180度回転させ、大きい部分の上に貼り付けます...

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ギャップを閉じて、長方形を取得します。

一見すると、これは長方形のベースの長さが偶数の場合にのみ機能しますが、長さが奇数の場合、中央の列を半分にカットするだけです-ユニットの幅が半分の高さで2倍になります（まだ整数領域）長方形の片側のストリップ。

三角形の底辺が何であれ、長方形の幅は(base / 2)および高さは(base + 1)、((base + 1) * base) / 2。

ただし、私のbaseはあなたのn-1。バブルソートは一度に1組の項目を比較し、したがって最初のループの（n-1）位置のみを反復処理するためです。

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Steve314

_(N-1) + (N-2) +...+ 2 + 1_はN-1個のアイテムの合計です。次に、最初のアイテムが最後に、次に2番目に、次に2番目から最後に、つまり_(N-1) + 1 + (N-2) + 2 +.._になるように、アイテムを並べ替えます。アイテムの注文方法を見ると、これらのペアのそれぞれがNに等しいことがわかります（N-1 + 1はN、N-2 + 2はN）。 N-1個のアイテムがあるため、（N-1）/ 2個のそのようなペアがあります。したがって、N（N-1）/ 2回追加するため、合計値はN*(N-1)/2になります。

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sepp2k

セットから数字のペアを作成してみてください。最初+最後。 2番目+最後の1つ。これは、n-1 + 1を意味します。 n-2 +2。結果は常にnです。また、2つの数字を加算するため、（n-1）個の数字から作成できる（n-1）/ 2個のペアしかありません。

したがって、（N-1）/ 2 * Nのようになります。

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gius

私たちは（n-1）*（n回）であることを知っていますが、なぜ2で割ったのですか？

ただの (n - 1) * n単純なバブルソートを使用する場合。次のことに気付くと、大幅に節約できます。

  • 各比較と交換の後、遭遇した最大の要素は、あなたが最後にいた場所になります。

  • 最初のパスの後、最大の要素は最後の位置になります。 kの後番目 パス、k番目 最大の要素はkにあります番目 最後の位置。

したがって、毎回すべてをソートする必要はありません。2回目はn-2個のエレメント、3回目はn-3個のエレメントなどをソートするだけです。つまり、比較/スワップの合計数は(n - 1) + (n - 2) + ...。これは算術級数であり、合計回数の式は（n-1）* n/2 。

例：リストのサイズがN = 5の場合、4 + 3 + 2 + 1 = 10回のスワップを実行します-そして10 4 * 5/2と同じです。

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John Feminella

これはかなり一般的な証明です。これを証明する1つの方法は、数学的帰納法を使用することです。リンクは次のとおりです。 http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html

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John Kane

算術的進行の合計

（A1 + AN）/ 2 * N =（1 +（N-1））/ 2 *（N-1）= N *（N-1）/ 2

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ShPavel

N = 2と仮定します。次に、左側に2-1 = 1があり、右側に2 * 1/2 = 1があります。

f(n) =（n-1）+（n-2）+（n-3）+ ... + 1

ここで、n = kまでテストしたと仮定します。次に、n = k + 1をテストする必要があります。

左側にk +（k-1）+（k-2）+ ... + 1があるので、f（k）+ k

右側には、（k + 1）* k/2 =（k ^ 2 + k）/ 2 =（k ^ 2 + 2k-k）/ 2 = k +（k-1）k/2 = k f（k）

したがって、これはkごとに保持する必要があり、これで証明が終わります。

1
martiert

Nの項を考慮した帰納法による証明ですが、_N - 1_でも同じです：

_N = 0_の場合、式は明らかに真です。

1 + 2 + 3 + ... + N = N(N + 1) / 2が一部の自然なNに対して真であると仮定します。

以前の仮定を使用して、1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N + 1)(N + 2) / 2も真であることを証明します。

1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N(N + 1) / 2) + (N + 1) = (N + 1)((N / 2) + 1) = (N + 1)(N + 2) / 2。

したがって、式はすべてのNに当てはまります。

1
IVlad