ファンクターは、あるカテゴリーから別のカテゴリーに移動する場合があります。エンドファンクターは、開始カテゴリーとターゲットカテゴリーが同じであるファンクターです。
自己準同型対射と同じです。
さて、なぜモナドはエンドファンクターでなければならないのですか？
「モナドはエンドファンクターのカテゴリーの単なるモノイドである」という有名な引用があります。幸いなことに、他の誰かがすでにそれをかなりうまく説明しています この回答では 。
モナドがエンドファンクターでなければならない重要な点は、Haskellで呼ばれるjoin、または圏論で通常呼ばれるµが、の定義¹の一部であるということです。モナド。今
Prelude Control.Monad> :t join
join :: Monad m => m (m a) -> m a
したがって、ファンクターmをオブジェクト（Haskでは、オブジェクトとしてのHaskell型のカテゴリー、射としての関数、型）に適用した結果は、mを再び適用できるオブジェクトでなければなりません。に。つまり、ファンクターmの定義域であるカテゴリーに属している必要があります。
ファンクターは、そのドメインとコドメインが同じである場合（厳密には、そのコドメインがそのドメインのサブカテゴリである場合）、つまりエンドファンクターである場合にのみ、それ自体で構成できます。それ自体との構成可能性はモナドの定義の一部であるため、モナドはフォルティオリのエンドファンクターです。
¹1つの定義。代わりに、(>>=)またはbindを使用してモナドを定義し、派生プロパティとしてjoinを持つことができます。