私はこれを使用しましたが、非常にうまく機能します。 これがアルゴリズムが高レベルでどのように機能するかの例です
編集：これが以下に定義されているように正確であるかを見て興味がありました。 公式ソース のsqrt（2）は次のとおりです。
(first 200 digits) 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147
ここでは、SQRT_Digが150である以下で説明するアプローチを使用しています。
(first 200 digits) 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206086685
最初の偏差は、195桁の精度の後に発生します。このような高レベルの精度が必要な場合は、自己責任で使用してください。
SQRT_Digを1000に変更すると、1570桁の精度が得られました。
private static final BigDecimal SQRT_Dig = new BigDecimal(150);
private static final BigDecimal SQRT_PRE = new BigDecimal(10).pow(SQRT_Dig.intValue());
/**
* Private utility method used to compute the square root of a BigDecimal.
*
* @author Luciano Culacciatti
* @url http://www.codeproject.com/Tips/257031/Implementing-SqrtRoot-in-BigDecimal
*/
private static BigDecimal sqrtNewtonRaphson (BigDecimal c, BigDecimal xn, BigDecimal precision){
BigDecimal fx = xn.pow(2).add(c.negate());
BigDecimal fpx = xn.multiply(new BigDecimal(2));
BigDecimal xn1 = fx.divide(fpx,2*SQRT_Dig.intValue(),RoundingMode.HALF_DOWN);
xn1 = xn.add(xn1.negate());
BigDecimal currentSquare = xn1.pow(2);
BigDecimal currentPrecision = currentSquare.subtract(c);
currentPrecision = currentPrecision.abs();
if (currentPrecision.compareTo(precision) <= -1){
return xn1;
}
return sqrtNewtonRaphson(c, xn1, precision);
}
/**
* Uses Newton Raphson to compute the square root of a BigDecimal.
*
* @author Luciano Culacciatti
* @url http://www.codeproject.com/Tips/257031/Implementing-SqrtRoot-in-BigDecimal
*/
public static BigDecimal bigSqrt(BigDecimal c){
return sqrtNewtonRaphson(c,new BigDecimal(1),new BigDecimal(1).divide(SQRT_PRE));
}
必ずbarwnikkの答えをチェックしてください。より簡潔で、一見良いまたはより良い精度を提供しています。
public static BigDecimal sqrt(BigDecimal A, final int SCALE) {
BigDecimal x0 = new BigDecimal("0");
BigDecimal x1 = new BigDecimal(Math.sqrt(A.doubleValue()));
while (!x0.equals(x1)) {
x0 = x1;
x1 = A.divide(x0, SCALE, ROUND_HALF_UP);
x1 = x1.add(x0);
x1 = x1.divide(TWO, SCALE, ROUND_HALF_UP);
}
return x1;
}
この作品は完璧です！ 65536桁以上の非常に高速！
Java 9が可能です！ BigDecimal.sqrt() を参照してください。
Karpのトリックを使用すると、ループなしで2行で実装でき、32桁の精度が得られます。
public static BigDecimal sqrt(BigDecimal value) {
BigDecimal x = new BigDecimal(Math.sqrt(value.doubleValue()));
return x.add(new BigDecimal(value.subtract(x.multiply(x)).doubleValue() / (x.doubleValue() * 2.0)));
}
整数平方根 のみを検索する必要がある場合-これらは使用できる2つの方法です。
ニュートン法-1000桁でも非常に高速BigInteger：
public static BigInteger sqrtN(BigInteger in) {
final BigInteger TWO = BigInteger.valueOf(2);
int c;
// Significantly speed-up algorithm by proper select of initial approximation
// As square root has 2 times less digits as original value
// we can start with 2^(length of N1 / 2)
BigInteger n0 = TWO.pow(in.bitLength() / 2);
// Value of approximate value on previous step
BigInteger np = in;
do {
// next approximation step: n0 = (n0 + in/n0) / 2
n0 = n0.add(in.divide(n0)).divide(TWO);
// compare current approximation with previous step
c = np.compareTo(n0);
// save value as previous approximation
np = n0;
// finish when previous step is equal to current
} while (c != 0);
return n0;
}
二分法-ニュートンの最大50倍遅い-教育目的でのみ使用：
public static BigInteger sqrtD(final BigInteger in) {
final BigInteger TWO = BigInteger.valueOf(2);
BigInteger n0, n1, m, m2, l;
int c;
// Init segment
n0 = BigInteger.ZERO;
n1 = in;
do {
// length of segment
l = n1.subtract(n0);
// middle of segment
m = l.divide(TWO).add(n0);
// compare m^2 with in
c = m.pow(2).compareTo(in);
if (c == 0) {
// exact value is found
break;
} else if (c > 0) {
// m^2 is bigger than in - choose left half of segment
n1 = m;
} else {
// m^2 is smaller than in - choose right half of segment
n0 = m;
}
// finish if length of segment is 1, i.e. approximate value is found
} while (l.compareTo(BigInteger.ONE) > 0);
return m;
}
Double（大規模なBigDecimal）に収まらない桁数の数値の平方根を計算する場合：
ウィキペディアには平方根の計算に関する記事があります： http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method
これは私の実装です：
_public static BigDecimal sqrt(BigDecimal in, int scale){
BigDecimal sqrt = new BigDecimal(1);
sqrt.setScale(scale + 3, RoundingMode.FLOOR);
BigDecimal store = new BigDecimal(in.toString());
boolean first = true;
do{
if (!first){
store = new BigDecimal(sqrt.toString());
}
else first = false;
store.setScale(scale + 3, RoundingMode.FLOOR);
sqrt = in.divide(store, scale + 3, RoundingMode.FLOOR).add(store).divide(
BigDecimal.valueOf(2), scale + 3, RoundingMode.FLOOR);
}while (!store.equals(sqrt));
return sqrt.setScale(scale, RoundingMode.FLOOR);
}
_setScale(scale + 3, RoundingMode.Floor)は、計算の精度を高めるためです。 _RoundingMode.Floor_は数値を切り捨て、_RoundingMode.HALF_UP_は通常の丸めを行います。
これは非常に正確で高速な解決策であり、私の BigIntSqRoot solution と次の観測に基づいています：A ^ 2Bの平方根-AはBの根。この方法を使用すると、2の平方根の最初の1000桁を簡単に計算できます。
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518488472
ここにソースコードがあります
public class BigIntSqRoot {
private static final int PRECISION = 10000;
private static BigInteger multiplier = BigInteger.valueOf(10).pow(PRECISION * 2);
private static BigDecimal root = BigDecimal.valueOf(10).pow(PRECISION);
private static BigInteger two = BigInteger.valueOf(2L);
public static BigDecimal bigDecimalSqRootFloor(BigInteger x)
throws IllegalArgumentException {
BigInteger result = bigIntSqRootFloor(x.multiply(multiplier));
//noinspection BigDecimalMethodWithoutRoundingCalled
return new BigDecimal(result).divide(root);
}
public static BigInteger bigIntSqRootFloor(BigInteger x)
throws IllegalArgumentException {
if (checkTrivial(x)) {
return x;
}
if (x.bitLength() < 64) { // Can be cast to long
double sqrt = Math.sqrt(x.longValue());
return BigInteger.valueOf(Math.round(sqrt));
}
// starting with y = x / 2 avoids magnitude issues with x squared
BigInteger y = x.divide(two);
BigInteger value = x.divide(y);
while (y.compareTo(value) > 0) {
y = value.add(y).divide(two);
value = x.divide(y);
}
return y;
}
public static BigInteger bigIntSqRootCeil(BigInteger x)
throws IllegalArgumentException {
BigInteger y = bigIntSqRootFloor(x);
if (x.compareTo(y.multiply(y)) == 0) {
return y;
}
return y.add(BigInteger.ONE);
}
private static boolean checkTrivial(BigInteger x) {
if (x == null) {
throw new NullPointerException("x can't be null");
}
if (x.compareTo(BigInteger.ZERO) < 0) {
throw new IllegalArgumentException("Negative argument.");
}
return x.equals(BigInteger.ZERO) || x.equals(BigInteger.ONE);
}
}
public static BigDecimal sqrt( final BigDecimal value )
{
BigDecimal guess = value.multiply( DECIMAL_HALF );
BigDecimal previousGuess;
do
{
previousGuess = guess;
guess = sqrtGuess( guess, value );
} while ( guess.subtract( previousGuess ).abs().compareTo( EPSILON ) == 1 );
return guess;
}
private static BigDecimal sqrtGuess( final BigDecimal guess,
final BigDecimal value )
{
return guess.subtract( guess.multiply( guess ).subtract( value ).divide( DECIMAL_TWO.multiply( guess ), SCALE, RoundingMode.HALF_UP ) );
}
private static BigDecimal epsilon()
{
final StringBuilder builder = new StringBuilder( "0." );
for ( int i = 0; i < SCALE - 1; ++i )
{
builder.append( "0" );
}
builder.append( "1" );
return new BigDecimal( builder.toString() );
}
private static final int SCALE = 1024;
private static final BigDecimal EPSILON = epsilon();
public static final BigDecimal DECIMAL_HALF = new BigDecimal( "0.5" );
public static final BigDecimal DECIMAL_TWO = new BigDecimal( "2" );
前に述べたように、答えの精度を気にせず、まだ有効な15桁目以降にランダムな数字のみを生成したい場合、なぜBigDecimalを使用するのですか？
浮動小数点BigDecimalsでトリックを実行するメソッドのコードは次のとおりです。
import Java.math.BigDecimal;
import Java.math.BigInteger;
import Java.math.MathContext;
public BigDecimal bigSqrt(BigDecimal d, MathContext mc) {
// 1. Make sure argument is non-negative and treat Argument 0
int sign = d.signum();
if(sign == -1)
throw new ArithmeticException("Invalid (negative) argument of sqrt: "+d);
else if(sign == 0)
return BigDecimal.ZERO;
// 2. Scaling:
// factorize d = scaledD * scaleFactorD
// = scaledD * (sqrtApproxD * sqrtApproxD)
// such that scalefactorD is easy to take the square root
// you use scale and bitlength for this, and if odd add or subtract a one
BigInteger bigI=d.unscaledValue();
int bigS=d.scale();
int bigL = bigI.bitLength();
BigInteger scaleFactorI;
BigInteger sqrtApproxI;
if ((bigL%2==0)){
scaleFactorI=BigInteger.ONE.shiftLeft(bigL);
sqrtApproxI=BigInteger.ONE.shiftLeft(bigL/2);
}else{
scaleFactorI=BigInteger.ONE.shiftLeft(bigL-1);
sqrtApproxI=BigInteger.ONE.shiftLeft((bigL-1)/2 );
}
BigDecimal scaleFactorD;
BigDecimal sqrtApproxD;
if ((bigS%2==0)){
scaleFactorD=new BigDecimal(scaleFactorI,bigS);
sqrtApproxD=new BigDecimal(sqrtApproxI,bigS/2);
}else{
scaleFactorD=new BigDecimal(scaleFactorI,bigS+1);
sqrtApproxD=new BigDecimal(sqrtApproxI,(bigS+1)/2);
}
BigDecimal scaledD=d.divide(scaleFactorD);
// 3. This is the core algorithm:
// Newton-Ralpson for scaledD : In case of f(x)=sqrt(x),
// Heron's Method or Babylonian Method are other names for the same thing.
// Since this is scaled we can be sure that scaledD.doubleValue() works
// for the start value of the iteration without overflow or underflow
System.out.println("ScaledD="+scaledD);
double dbl = scaledD.doubleValue();
double sqrtDbl = Math.sqrt(dbl);
BigDecimal a = new BigDecimal(sqrtDbl, mc);
BigDecimal HALF=BigDecimal.ONE.divide(BigDecimal.ONE.add(BigDecimal.ONE));
BigDecimal h = new BigDecimal("0", mc);
// when to stop iterating? You start with ~15 digits of precision, and Newton-Ralphson is quadratic
// in approximation speed, so in roundabout doubles the number of valid digits with each step.
// This fmay be safer than testing a BigDecifmal against zero.
int prec = mc.getPrecision();
int start = 15;
do {
h = scaledD.divide(a, mc);
a = a.add(h).multiply(HALF);
start *= 2;
} while (start <= prec);
// 3. Return rescaled answer. sqrt(d)= sqrt(scaledD)*sqrtApproxD :
return (a.multiply(sqrtApproxD));
}
テストとして、繰り返される平方根を取るよりも数回繰り返し二乗を試みて、開始点からどれだけ近いかを確認します。
平方根だけでなく、すべてのBigDecimalの整数以下のすべてのルートを実行するアルゴリズムを考え出しました。検索アルゴリズムを実行しないという大きな利点があるため、0,1ms-1msのランタイムで非常に高速です。
しかし、速度と汎用性で得られるものは正確性に欠け、5桁目の平均が5桁で、3桁の逸脱があります。 （100万の乱数とルートでテスト）、テストは非常に高いルートで実行されましたが、ルートを10未満に保つと、もう少し正確になると期待できます。
結果は64ビットの精度のみを保持し、残りの数値はゼロです。したがって、非常に高いレベルの精度が必要な場合は、この関数を使用しないでください。
非常に小さな数ではなく、非常に大きな数と非常に大きな根を処理するように作られています。
public static BigDecimal nrt(BigDecimal bd,int root) {
//if number is smaller then double_max_value it's faster to use the usual math
//library
if(bd.compareTo(BigDecimal.valueOf(Double.MAX_VALUE)) < 0)
return new BigDecimal( Math.pow(bd.doubleValue(), 1D / (double)root ));
BigDecimal in = bd;
int digits = bd.precision() - bd.scale() -1; //take digits to get the numbers power of ten
in = in.scaleByPowerOfTen (- (digits - digits%root) ); //scale down to the lowest number with it's power of ten mod root is the same as initial number
if(in.compareTo(BigDecimal.valueOf( Double.MAX_VALUE) ) > 0) { //if down scaled value is bigger then double_max_value, we find the answer by splitting the roots into factors and calculate them seperately and find the final result by multiplying the subresults
int highestDenominator = highestDenominator(root);
if(highestDenominator != 1) {
return nrt( nrt(bd, root / highestDenominator),highestDenominator); // for example turns 1^(1/25) 1^(1/5)^1(1/5)
}
//hitting this point makes the runtime about 5-10 times higher,
//but the alternative is crashing
else return nrt(bd,root+1) //+1 to make the root even so it can be broken further down into factors
.add(nrt(bd,root-1),MathContext.DECIMAL128) //add the -1 root and take the average to deal with the inaccuracy created by this
.divide(BigDecimal.valueOf(2),MathContext.DECIMAL128);
}
double downScaledResult = Math.pow(in.doubleValue(), 1D /root); //do the calculation on the downscaled value
BigDecimal BDResult =new BigDecimal(downScaledResult) // scale back up by the downscaled value divided by root
.scaleByPowerOfTen( (digits - digits % root) / root );
return BDResult;
}
private static int highestDenominator(int n) {
for(int i = n-1; i>1;i--) {
if(n % i == 0) {
return i;
}
}
return 1;
}
これは、平方根を行うときにx ^ 0.5を（x/100）^ 0,5 * 10に変更できるため、基本を100で除算し、10で乗算することができる数学的なプロパティを使用して機能します。
一般化すると、x ^（1/n）=（x/10 ^ n）^（1/n）* 10。
そのため、立方根の場合はベースを10 ^ 3で除算する必要があり、四重根の場合は10 ^ 4で除算する必要があります。
アルゴリズムはその関数を使用して、数学ライブラリが処理できるものまで入力を縮小し、入力が縮小された量に基づいて再度拡大します。
また、入力を十分に縮小できない少数のEdgeケースも処理します。多くの精度の問題を追加するのはEdgeケースです。
Java apiには何もありません。したがって、doubleの精度が十分でない場合（そうでない場合、BigDecimalを使用する理由は何ですか？）、以下のコードのようなものが必要です。）
import Java.math.BigDecimal;
public class BigDSqrt {
public static BigDecimal sqrt(BigDecimal n, int s) {
BigDecimal TWO = BigDecimal.valueOf(2);
// Obtain the first approximation
BigDecimal x = n
.divide(BigDecimal.valueOf(3), s, BigDecimal.ROUND_DOWN);
BigDecimal lastX = BigDecimal.valueOf(0);
// Proceed through 50 iterations
for (int i = 0; i < 50; i++) {
x = n.add(x.multiply(x)).divide(x.multiply(TWO), s,
BigDecimal.ROUND_DOWN);
if (x.compareTo(lastX) == 0)
break;
lastX = x;
}
return x;
}
}