P！= NPであることをVinay Deolalikarが証明したことを説明する
私は紙をスキャンしただけですが、すべてがどのように連動しているかの大まかな要約を次に示します。
論文の86ページから。
...多項式時間アルゴリズムは、問題を条件付きの独立性によって相互に結合される小さなサブ問題に連続的に「分割」することで成功します。その結果、多項式時間アルゴリズムは、基本となる問題のインスタンスと同じ次数のブロックが同時解決を必要とする領域での問題を解決できません。
論文の他の部分は、特定のNP問題はこの方法で分割できないことを示しています。したがって、NP/= P
論文の多くは、条件付き独立性を定義し、これら2つの点を証明することに費やされています。
ディック・リプトンは素晴らしい ブログエントリ についての論文とそれに対する彼の第一印象を持っています。残念ながら、それも技術的です。私が理解できることから、Deolalikarの主なイノベーションは、統計物理学と有限モデル理論からのいくつかの概念を使用し、それらを問題に結び付けることです。
私はこれとRex Mを使っています。いくつかの結果、ほとんどが数学的なものは、技術的な熟練を欠いている人には表現できません。
私はこれが好きでした（ http://www.newscientist.com/article/dn19287-p--np-its-bad-news-for-the-power-of-computing.html ）：
彼の議論は特定のタスク、ブール充足可能性問題を中心に展開します。ブール充足可能性問題は、論理ステートメントのコレクションがすべて同時に真であるかどうか、またはそれらが互いに矛盾するかどうかを尋ねます。これはNP問題であることがわかっています。
Deolalikarは、ゼロから素早く完了することができるプログラムはなく、したがってPの問題ではないことを示したと主張しています。ランダムな物理システムと同じルールの多くに従う数学構造を使用しているため、彼の議論には統計物理学の独創的な使用が関係しています。
上記の影響は非常に重要です。
結果が正しければ、2つのクラスPとNPは同一ではなく、コンピューターが実行できることに対して厳しい制限を課すことを証明します。つまり、多くのタスクが根本的に、還元できないほど複雑であることを意味します。
一部の問題（因数分解を含む）の場合、結果はそれらを迅速に解決できるかどうかを明確に示していません。しかし、「NP完全」と呼ばれる巨大なサブクラスの問題は運命づけられます。有名な例は、巡回するセールスマンの問題です。一連の都市間の最短ルートを見つけることです。このような問題はすぐに確認できますが、P≠NP=の場合、問題を最初からすばやく完了することができるコンピュータプログラムはありません。
これは証明手法についての私の理解です。彼は一次論理を使用してすべての多項式時間アルゴリズムを特徴付け、特定のプロパティを持つ大規模なSAT問題の場合、多項式時間アルゴリズムでは充足可能性を判断できないことを示しています。
それについて完全に間違っているかもしれないが、最初のパスで読んでいるときの私の第一印象であるもう1つの考え方は、「順序付けられたそして、彼は統計物理学を使用して、多項式演算では特定の「フェーズスペース」の演算でこれらの演算を実行するのに十分な速度がないことを示しています。これらの「クラスター」は離れすぎてしまうためです。
そのような証明は、連続的なグローバル最適化のようなアルゴリズムのすべてのクラスをカバーする必要があります。
たとえば、3-SAT問題では、変数を評価して、これらの変数のトリプルのすべての選択肢またはそれらの否定を満たす必要があります。あれ見て x OR yは最適化に変更できます
((x-1)^2+y^2)((x-1)^2+(y-1)^2)(x^2+(y-1)^2)
同様に、3つの変数の代替の7つの項。
すべての項についてそのような多項式の合計のグローバルな最小値を見つけることで、問題が解決します。 （ ソース ）
これは、標準の組み合わせテクニックから継続的な世界へのusing_gradientメソッド、局所的な最小値の削除メソッド、進化的アルゴリズムへと進んでいます。それは完全に異なる王国です-数値分析-私はそのような証明が本当にカバーできるとは思いません（？）