iOSサービスワーカーでFirebaseリアルタイムリスニングを実行できますか？
IOS 11.3現在、サポートされているサービスワーカー機能があります
通知のサポートはありませんが。 firebaseデータベースなどのリアルタイムリスナーを実行して、リアルタイムデータを受信し、ServiceWorkerRegistration.showNotification代わりにローカル通知を表示する
出来ますか？
iOSはまだWebプッシュ通知をサポートしていません （2018年4月現在）、サーバー側からのデータ（イベントの場合はFirebase）のイベントリスナーを持ち、そのデータを受信するだけです通知/アラートとして表示するか、アプリケーション内で表示する方法を（iOS通知領域ではなく）表示します。
残念ながら、これはiOSの通知を処理できる最良の方法です。開発者にとってはそれほど素晴らしいことではないことを知っています:)希望Apple PWAの速度が上がります。サービスワーカーパーティ自体に1年以上遅れています。
更新： WhatWebCanDo.today および Appleから1つ に関するもう1つのリンク。iOS-Safariは、w3cで定義されたWeb標準としてプッシュ通知をサポートしていません。しかし、OS X safari独自のソリューションが利用できるようです。
残念ながら、ネイティブのSafari IOSはchrome、firefoxなどで見られる機能に近づいていますが、現在（このコメントの時点で）ネイティブのプッシュ通知を送信する方法はありません= IOS Safari（またはchromeなど）のような他のiosブラウザ）。
Safari for Macは、これらの通知にカスタムMacソリューションを使用します。これらは、こちらで確認できます https://developer.Apple.com/notifications/safari-Push-notifications/ 。
Firebaseを使用している場合は、firebaseプロジェクトのメインターミナルにプッシュ通知があり、その上でオフラインデータ処理のためにService Worker javaScriptを実行することはできませんが、プッシュ通知には使用できます。質問についてもっと詳しく説明してください。