自分の "最近の投稿"ウィジェットを作成したり、既存のウィジェットをカスタマイズしたりできますか？
現在設定されているウィジェットよりも多くの投稿がある場合、[最近の投稿]ウィジェットに[すべて表示]リンクを表示する機能を有効にします。
特定のカテゴリや投稿を除外できるようにしたいです。
私のテーマのfunctions.phpのどちらでも可能ですか？
（1）既存のウィジェットをカスタマイズする、または（2）カスタマイズできるコピーを作成する
通常は、既存のものをコピーし、それに固有の名前を付けてから、独自の機能を追加するのが最善です。
WP_Widget_Recent_Postsクラスをwp-includes/default-widgets.phpから自分のfunctions.php（またはできれば、ウィジェット専用の別のテーマのファイル）にコピーして、My_Widget_Recent_Postsのように別の名前に変更します。
そこにあなたの機能を追加してください。
initフェーズの一部としてregister_widget('My_Widget_Recent_Posts')を呼び出すことを忘れないでください。