Pythonの主成分分析
次元削減のために主成分分析（PCA）を使用したいと思います。 numpyまたはscipyはすでに持っていますか、または numpy.linalg.eigh ？
私の入力データは非常に高次元（〜460次元）であるため、特異値分解（SVD）を使用したくありません。したがって、SVDは共分散行列の固有ベクトルの計算よりも遅くなると思います。
私は、どのメソッドをいつ使用するか、そしておそらくは知らない他の最適化をいつ行うかについて正しい決定を下す、既成のデバッグ実装を見つけることを望んでいました。
[〜＃〜] mdp [〜＃〜] をご覧ください。
自分でテストする機会はありませんでしたが、PCA機能のために正確にブックマークしました。
数か月後、少人数のPCAと写真があります。
#!/usr/bin/env python
""" a small class for Principal Component Analysis
Usage:
p = PCA( A, fraction=0.90 )
In:
A: an array of e.g. 1000 observations x 20 variables, 1000 rows x 20 columns
fraction: use principal components that account for e.g.
90 % of the total variance
Out:
p.U, p.d, p.Vt: from numpy.linalg.svd, A = U . d . Vt
p.dinv: 1/d or 0, see NR
p.eigen: the eigenvalues of A*A, in decreasing order (p.d**2).
eigen[j] / eigen.sum() is variable j's fraction of the total variance;
look at the first few eigen[] to see how many PCs get to 90 %, 95 % ...
p.npc: number of principal components,
e.g. 2 if the top 2 eigenvalues are >= `fraction` of the total.
It's ok to change this; methods use the current value.
Methods:
The methods of class PCA transform vectors or arrays of e.g.
20 variables, 2 principal components and 1000 observations,
using partial matrices U' d' Vt', parts of the full U d Vt:
A ~ U' . d' . Vt' where e.g.
U' is 1000 x 2
d' is diag([ d0, d1 ]), the 2 largest singular values
Vt' is 2 x 20. Dropping the primes,
d . Vt 2 principal vars = p.vars_pc( 20 vars )
U 1000 obs = p.pc_obs( 2 principal vars )
U . d . Vt 1000 obs, p.obs( 20 vars ) = pc_obs( vars_pc( vars ))
fast approximate A . vars, using the `npc` principal components
Ut 2 pcs = p.obs_pc( 1000 obs )
V . dinv 20 vars = p.pc_vars( 2 principal vars )
V . dinv . Ut 20 vars, p.vars( 1000 obs ) = pc_vars( obs_pc( obs )),
fast approximate Ainverse . obs: vars that give ~ those obs.
Notes:
PCA does not center or scale A; you usually want to first
A -= A.mean(A, axis=0)
A /= A.std(A, axis=0)
with the little class Center or the like, below.
See also:
http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition
Press et al., Numerical Recipes (2 or 3 ed), SVD
PCA micro-tutorial
iris-pca .py .png
"""
from __future__ import division
import numpy as np
dot = np.dot
# import bz.numpyutil as nu
# dot = nu.pdot
__version__ = "2010-04-14 apr"
__author_email__ = "denis-bz-py at t-online dot de"
#...............................................................................
class PCA:
def __init__( self, A, fraction=0.90 ):
assert 0 <= fraction <= 1
# A = U . diag(d) . Vt, O( m n^2 ), lapack_lite --
self.U, self.d, self.Vt = np.linalg.svd( A, full_matrices=False )
assert np.all( self.d[:-1] >= self.d[1:] ) # sorted
self.eigen = self.d**2
self.sumvariance = np.cumsum(self.eigen)
self.sumvariance /= self.sumvariance[-1]
self.npc = np.searchsorted( self.sumvariance, fraction ) + 1
self.dinv = np.array([ 1/d if d > self.d[0] * 1e-6 else 0
for d in self.d ])
def pc( self ):
""" e.g. 1000 x 2 U[:, :npc] * d[:npc], to plot etc. """
n = self.npc
return self.U[:, :n] * self.d[:n]
# These 1-line methods may not be worth the bother;
# then use U d Vt directly --
def vars_pc( self, x ):
n = self.npc
return self.d[:n] * dot( self.Vt[:n], x.T ).T # 20 vars -> 2 principal
def pc_vars( self, p ):
n = self.npc
return dot( self.Vt[:n].T, (self.dinv[:n] * p).T ) .T # 2 PC -> 20 vars
def pc_obs( self, p ):
n = self.npc
return dot( self.U[:, :n], p.T ) # 2 principal -> 1000 obs
def obs_pc( self, obs ):
n = self.npc
return dot( self.U[:, :n].T, obs ) .T # 1000 obs -> 2 principal
def obs( self, x ):
return self.pc_obs( self.vars_pc(x) ) # 20 vars -> 2 principal -> 1000 obs
def vars( self, obs ):
return self.pc_vars( self.obs_pc(obs) ) # 1000 obs -> 2 principal -> 20 vars
class Center:
""" A -= A.mean() /= A.std(), inplace -- use A.copy() if need be
uncenter(x) == original A . x
"""
# mttiw
def __init__( self, A, axis=0, scale=True, verbose=1 ):
self.mean = A.mean(axis=axis)
if verbose:
print "Center -= A.mean:", self.mean
A -= self.mean
if scale:
std = A.std(axis=axis)
self.std = np.where( std, std, 1. )
if verbose:
print "Center /= A.std:", self.std
A /= self.std
else:
self.std = np.ones( A.shape[-1] )
self.A = A
def uncenter( self, x ):
return np.dot( self.A, x * self.std ) + np.dot( x, self.mean )
#...............................................................................
if __== "__main__":
import sys
csv = "iris4.csv" # wikipedia Iris_flower_data_set
# 5.1,3.5,1.4,0.2 # ,Iris-setosa ...
N = 1000
K = 20
fraction = .90
seed = 1
exec "\n".join( sys.argv[1:] ) # N= ...
np.random.seed(seed)
np.set_printoptions( 1, threshold=100, suppress=True ) # .1f
try:
A = np.genfromtxt( csv, delimiter="," )
N, K = A.shape
except IOError:
A = np.random.normal( size=(N, K) ) # gen correlated ?
print "csv: %s N: %d K: %d fraction: %.2g" % (csv, N, K, fraction)
Center(A)
print "A:", A
print "PCA ..." ,
p = PCA( A, fraction=fraction )
print "npc:", p.npc
print "% variance:", p.sumvariance * 100
print "Vt[0], weights that give PC 0:", p.Vt[0]
print "A . Vt[0]:", dot( A, p.Vt[0] )
print "pc:", p.pc()
print "\nobs <-> pc <-> x: with fraction=1, diffs should be ~ 0"
x = np.ones(K)
# x = np.ones(( 3, K ))
print "x:", x
pc = p.vars_pc(x) # d' Vt' x
print "vars_pc(x):", pc
print "back to ~ x:", p.pc_vars(pc)
Ax = dot( A, x.T )
pcx = p.obs(x) # U' d' Vt' x
print "Ax:", Ax
print "A'x:", pcx
print "max |Ax - A'x|: %.2g" % np.linalg.norm( Ax - pcx, np.inf )
b = Ax # ~ back to original x, Ainv A x
back = p.vars(b)
print "~ back again:", back
print "max |back - x|: %.2g" % np.linalg.norm( back - x, np.inf )
# end pca.py
numpy.linalg.svdを使用したPCAは非常に簡単です。簡単なデモを次に示します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.misc import lena
# the underlying signal is a sinusoidally modulated image
img = lena()
t = np.arange(100)
time = np.sin(0.1*t)
real = time[:,np.newaxis,np.newaxis] * img[np.newaxis,...]
# we add some noise
noisy = real + np.random.randn(*real.shape)*255
# (observations, features) matrix
M = noisy.reshape(noisy.shape[0],-1)
# singular value decomposition factorises your data matrix such that:
#
# M = U*S*V.T (where '*' is matrix multiplication)
#
# * U and V are the singular matrices, containing orthogonal vectors of
# unit length in their rows and columns respectively.
#
# * S is a diagonal matrix containing the singular values of M - these
# values squared divided by the number of observations will give the
# variance explained by each PC.
#
# * if M is considered to be an (observations, features) matrix, the PCs
# themselves would correspond to the rows of S^(1/2)*V.T. if M is
# (features, observations) then the PCs would be the columns of
# U*S^(1/2).
#
# * since U and V both contain orthonormal vectors, U*V.T is equivalent
# to a whitened version of M.
U, s, Vt = np.linalg.svd(M, full_matrices=False)
V = Vt.T
# PCs are already sorted by descending order
# of the singular values (i.e. by the
# proportion of total variance they explain)
# if we use all of the PCs we can reconstruct the noisy signal perfectly
S = np.diag(s)
Mhat = np.dot(U, np.dot(S, V.T))
print "Using all PCs, MSE = %.6G" %(np.mean((M - Mhat)**2))
# if we use only the first 20 PCs the reconstruction is less accurate
Mhat2 = np.dot(U[:, :20], np.dot(S[:20, :20], V[:,:20].T))
print "Using first 20 PCs, MSE = %.6G" %(np.mean((M - Mhat2)**2))
fig, [ax1, ax2, ax3] = plt.subplots(1, 3)
ax1.imshow(img)
ax1.set_title('true image')
ax2.imshow(noisy.mean(0))
ax2.set_title('mean of noisy images')
ax3.imshow((s[0]**(1./2) * V[:,0]).reshape(img.shape))
ax3.set_title('first spatial PC')
plt.show()
Sklearnを使用できます：
import sklearn.decomposition as deco
import numpy as np
x = (x - np.mean(x, 0)) / np.std(x, 0) # You need to normalize your data first
pca = deco.PCA(n_components) # n_components is the components number after reduction
x_r = pca.fit(x).transform(x)
print ('explained variance (first %d components): %.2f'%(n_components, sum(pca.explained_variance_ratio_)))
matplotlib.mlab には PCA実装 があります。
SVDは460の寸法で正常に機能するはずです。 my Atom netbook。eig（）メソッドはmore時間を要します（当然のことながら、より多くの浮動小数点演算を使用します）。あまり正確ではありません。
460未満の例がある場合、やりたいことは、データポイントが列であると仮定して、散布行列（x-datamean）^ T（x-mean）を対角化し、（x-datamean）で左乗算することです。 mightデータよりも多くの次元がある場合は高速になります。
scipy.linalgを使用して独自の「ロール」を簡単に行うことができます（事前に中心化されたデータセットdataを想定）：
covmat = data.dot(data.T)
evs, evmat = scipy.linalg.eig(covmat)
evsは固有値であり、evmatは投影行列です。
d次元を保持する場合は、最初のd固有値と最初のd固有ベクトルを使用します。
scipy.linalgに分解があり、numpyに行列乗算がある場合、他に何が必要ですか？
私は本を読み終えたばかりです 機械学習：アルゴリズムの観点 。この本のすべてのコード例は、Python（およびほとんどNumpy）によって書かれています。 chatper10.2主成分分析 のコードスニペットは、読む価値があるかもしれません。 numpy.linalg.eigを使用します。
ところで、SVDは460 * 460の寸法を非常にうまく処理できると思います。非常に古いPC：Pentium III 733mHzでnumpy/scipy.linalg.svdを使用して6500 * 6500 SVDを計算しました。正直に言うと、このスクリプトにはSVDの結果を得るために多くのメモリ（約1.xG）と多くの時間（約30分）が必要です。しかし、SVDを何度も実行する必要がない限り、最新のPCでの460 * 460は大きな問題ではないと思います。
すべての固有値と固有ベクトルを計算するので、完全な特異値分解（SVD）は必要ありません。また、大きな行列に対しては禁止になる可能性があります。 scipy およびそのスパースモジュールは、スパース行列とデンス行列の両方で機能する汎用線形アルグレブラ関数を提供します。その中にはeig *ファミリの関数があります。
http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/sparse.linalg.html#matrix-factorizations
Scikit-learn は Python PCA実装 を提供します。これは現在のところ密行列のみをサポートしています。
タイミング：
In [1]: A = np.random.randn(1000, 1000)
In [2]: %timeit scipy.sparse.linalg.eigsh(A)
1 loops, best of 3: 802 ms per loop
In [3]: %timeit np.linalg.svd(A)
1 loops, best of 3: 5.91 s per loop
こちら は、python numpy、scipy、C-extensionsを使用したPCAモジュールの別の実装です。モジュールは、SVDまたはNIPALS（非線形反復法を使用してPCAを実行します。 Cで実装されている部分最小二乗）アルゴリズム。
3Dベクトルを使用している場合は、toolbelt vg を使用してSVDを簡潔に適用できます。 numpyの上にある明るいレイヤーです。
import numpy as np
import vg
vg.principal_components(data)
最初の主成分のみが必要な場合にも便利なエイリアスがあります。
vg.major_axis(data)
私は前回のスタートアップでこのライブラリを作成しましたが、NumPyで冗長または不透明なシンプルなアイデアのような使用法に動機付けられました。